数学分析中求极限的方法总结摘要 数学分析是以极限为工具来研究函数的学科，掌握求极限的方法对学习数学分析有很大帮助，然而求极限的题型多变，技巧性强，本文总结了几种一般的求极限方法，并对专用于求数列极限和函数极限以及两者通用的方法进行归类总结，同时为每种方法相应的举例对方法加以说明.关键词 极限 数列极限 函数极限 方法 总结在我们所学过的数学分析中有数列极限和函数极限两种，我将用于专门求数列极限或函数极限，两者通用的方法进行了如下归纳. 1 求数列极限的方法1.1 定义法 这是求数列极限最基本的方法.设{n x }是数列，A 为常数，0>∀ε，∃正整数N ，当N n >有ε<-A x n 成立，称{n x }以A 为极限或{n x }收敛于A ，记作A x n n =∞→lim .[1]例1 证明0)1(lim=-∞→nnn 证明：0>∀ε，取1]1[+=εN ,则当N n >时，有ε<--0)1(n n 0)1(l i m =-∴∞→nnn 1.2 等差等比数列的应用 求等比数列极限用此法必须保证公比1<q .例2 求)214121(lim n n +++∞→解：原式1211)211(21lim =--=∞→n n 1.3 各项的拆分相加 消去中间大部分数. 例3 证明1)1(13*212*11lim =-+++=∞→nn x n n 证明：原式1)11(lim )1113121211(lim =-=--++-+-=∞→∞→nn n n n1.4 左右求极限法 例如已知n x 与n x +1的关系，在n x 极限存在的情况下，n x 与n x +1的极限一样，去掉有限项极限值不变. 1.5 单调有界数列必有极限例4 设0>a ，n n n n n a a a a x ++++= 共有n 重根号，求证n n x ∞→lim 存在，并求出极限.证明：a x =1，a a x +=2 显然n x 是单调递增的 1-+=n n n x a x n n n x a x a x +≤+=∴-121110+≤+≤+≤<∴a aa x a x n n }{n x ∴有界 n n x ∞→∴lim 存在设l x n n =∞→lim 则由n n n x a x a x +≤+=-12得a l l +=2 2411al +±=∴ }{n x 为正数列，它的极限不能是负的，取上述方程正根，则2411al ++= 2 求函数极限的方法2.1 定义法 设)(x f y =在)(00x O 内有定义，A 为常数，0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，称)(x f 在0x 点收敛于A ，记作A x f x x =→)(lim 0.[1] 例5 求证211lim=--→x x x x证明：0>∃δ，取εδ=，则当δ<-<10x 时，有ε<-<+-=-=---1111211x x x x x x2.2 两个重要极限的应用.2.2.1 1sin lim0=→xxx 2.2.2 e xx x =+∞→)11(lim例6 求)0,(sin sin lim0≠→n m nxmxx 解：原式nmnx nx nx mx mx mx x ==→sin **sin lim例7 求nn n )111(lim ++∞→ 解：原式=11])111[(lim ++∞→++n nn x n =1lim1])111[(lim ++∞→∞→++n nn x n n e =3 以下方法求数列极限和函数极限均适用，方法均以数列为例举出，将n x 和n y 相应的替换为)(x f 和)(x g 可得求函数极限的方法. 3.1 利用极限的夹逼准则求极限. 例8 求)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解：设原式的=A ， 那么122+≤≤+n n A nn n 又 1lim2=+∞→nn n n ,11lim2=+∞→n n n1)12111(lim 222=++++++∴∞→nn n n n3.2利用极限的四则运算，此法一般参杂在其他方法中使用. 3.2.1 n n n n n n y x y x ±=±∞→∞→lim )(lim3.2.2 n n n n n n n y x y x ∞→∞→∞→=lim lim )(lim若数列{n x }有界，数列{n y }为无穷小量，则它们的乘积为无穷小量.3.2.3 当0lim ≠∞→n n y 时，有nn nn n n n y x y x ∞→∞→∞→=lim lim lim 3.3 带有根号的式子可以通分求解. 例9 求)(lim 2n n n n -+∞→解：∞→n lim (n n +2-n)=∞→n limnnn n ++2=)111(lim ++∞→n n =2. 3.4 形如)0,0(00110110≠≠++++++=--b a b n b n b a n a n a x ll l kk k n 用此法. ll k k lk n n b n b b n a n a a n x ++++++=- 1010 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=++++++--∞→kl k l b a kl b n b n b a n a n a l l l k k k n 001101100lim 3.5利用同阶无穷小量的转化求极限，在求极限的过程中，往往可以把其中的无穷小量用同阶的无穷小量或它的主要部分来代替.设函数)(x f ，)(x g ，)(x h 在)(00x O 内有定义，且有)(x f ～)(x g )(0x x → I 若A x h x f x x =→)()(lim 0则A x h x g x x =→)()(lim 0II 若B x f x h x x =→)()(lim则Bx g x h x x =→)()(lim 0[2]例10 从x 21sin ～x 21可得8)21(lim )21(sin lim33403340=+=+→→x x x x x x x x 但应注意，不是乘或除的情况，不一定能这样做.例11 11111lim 2=+-∞→n n n n 显然不能把11+n 用n1代替.3.6利用泰勒公式求极限，在含有x e ，正余弦的极限中注意此方法. 例12 求)1(11sin lim 2x x e x x ----=→解： )(!2122x o x x e x +++= )(s i n 2x o x x += )(21)1(222x o x x +-=-∴2!21sin 22x x x e x==-- )(2)1(1222x o x x +=-- 1021021lim )(21)(21lim )(2)(2lim )1(11sin lim 0222202222020=++=++=++=----∴→→→→x x x x x xx o x x o x o x x o x x x e 3.7利用洛必达法则求解，首先介绍使用洛必达法则的前提.3.7.1 设l 是要趋近的一个定值或无穷大，必须是l x →才能使用洛必达法则，若是l n →，则转化成求l x →的极限，再用海涅定理求出l n →的极限. 3.7.2 必须是函数的导数要存在，若只给出)(x g 未说明是否可导，则不能用洛必达法则.3.7.3 必须是00或∞∞型才能用洛必达法则，若是∞-∞，∞*0，00，∞1，0∞等待定型，则用通分，取倒数或取对数的方法将其转化为00或∞∞型.例13 求xx xx x x sin cos lim0--→解:原式3)sin cos 2(lim sin cos sin sin lim cos 1sin cos 1lim000=+=++=-+-=→→→xxx x x x x x x x x x x x x 例14 求)arctan 2(lim x x x -+∞→π解:原式11lim 111lim 1arctan 2lim 2202200=+=-+-=-=→→→x x xx xx z x x π例15 求x x x 0lim +→解:设x x y =，则x x y ln ln = 01lim ln lim ln lim 2000=-=-==∴+→+→+→x x x x xy x x x1lim lim lim lim 00ln 0====∴+→+→+→+→e e y x x y x x x x3.8 用定积分求极限，变量必须在[]1,0上.例16 求)212111(lim n n n n +++++∞→ 分析：⎰∑∆==→ab i ni i x f dx x f )(lim )(1ξλ)11211111(1212111n n n n n n n n ++++++=+++++xx f +=11)( []1,0∈x 解：原式⎰=-=+=++++++=∞→102ln 1ln 2ln 11)11211111(1lim dx x nnn n n n 3.9 此外，还有一个简便的方法，在我们了解函数图像大体趋势时，可根据函数图像上升或下降的速度来判断极限是0还是∞.应注意的是，当函数x 无限趋近于某一数时，这两个函数图像同增或同减. 以上是我总结的几种求极限的方法。

参考文献：[1]陈传璋 金福临 朱学炎.数学分析（上册）.高等教育出版社，1983，7 [2]吴良森 毛羽辉 韩士安.数学分析学习指导书.高等教育出版社，2004,8。