第1章 习题答案1-1 题1-1图所示信号中,哪些是连续信号?哪些是离散信号?哪些是周期信号?哪些是非周期信号?哪些是有始信号?解: ① 连续信号:图(a )、(c )、(d ); ② 离散信号:图(b ); ③ 周期信号:图(d ); ④ 非周期信号:图(a )、(b )、(c ); ⑤有始信号:图(a )、(b )、(c )。
1-2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|,试判定该系统是否为线性时不变系统。
解: 设T 为此系统的运算子,由已知条件可知: y(t)=T[f(t)]=|f(t)|,以下分别判定此系统的线性和时不变性。
① 线性1)可加性不失一般性,设f(t)=f 1(t)+f 2(t),则y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|,y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|,y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|,而|f 1(t)|+|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)|即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下,不存在f 1(t)+f 2(t)→y 1(t)+y 2(t),因此系统不具备可加性。
由此,即足以判定此系统为一非线性系统,而不需在判定系统是否具备齐次性特性。
2)齐次性由已知条件,y(t)=T[f(t)]=|f(t)|,则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) (其中a 为任一常数)即在f(t)→y(t)前提下,不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性,由此亦可判定此系统为一非线性系统。
② 时不变特性由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|,则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|,即由f(t)→y(t),可推出f(t-t 0)→y(t-t 0),因此,此系统具备时不变特性。
依据上述①、②两点,可判定此系统为一非线性时不变系统。
1-3 判定下列方程所表示系统的性质:)()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()()(2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=⎰解:(a )① 线性1)可加性由 ⎰+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得⎪⎩⎪⎨⎧→+=→+=⎰⎰t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则⎰⎰⎰+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dtd dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ++前提下,有、→→→,因此系统具备可加性。
2)齐次性由)()(t y t f →即⎰+=t dx x f dtt df t y 0)()()(,设a 为任一常数,可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dtt df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+⎰⎰⎰ 即)()(t ay t af →,因此,此系统亦具备齐次性。
由上述1)、2)两点,可判定此系统为一线性系统。
② 时不变性)()(t y t f → 具体表现为:⎰+=t dx x f dtt df t y 0)()()( 将方程中得f(t)换成f(t-t 0)、y(t)换成y(t-t 0)(t 0为大于0的常数),即 ⎰-+-=-t dx t x f dtt t df t t y 0000)()()( 设τ=-0t x ,则τd dx =,因此⎰--+-=-00)()()(00t t t d f dtt t df t t y ττ 也可写成⎰--+-=-00)()()(00t t t dx x f dtt t df t t y , 只有f(t)在t=0时接入系统,才存在)()(00t t y t t f -→-,当f(t)在t ≠0时接入系统,不存在)()(00t t y t t f -→-,因此,此系统为一时变系统。
依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统。
(b )① 线性1)可加性在由)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 规定的)()(t y t f →对应关系的前提下,可得 )]2()2([)]()([)]()([3)]()([2)]()([)2()()(3)(2)()2()()(3)(2)(21'2121'21''212'22'2''21'11'1''1-+-++=+++++⇒⎭⎬⎫-+=++-+=++t f t f t f t f t y t y t y t y t y t y t f t f t y t y t y t f t f t y t y t y即由)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ++可推出→−−→−⎭⎬⎫→→,系统满足可加性。
2)齐次性 由)()(t y t f →,即)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y ,两边同时乘以常数a ,有 )]2([)]([)]([3)]([2)]([)]2()([)](3)(2)([''''''''-+=++⇒-+=++t af t af t ay t ay t ay t f t f a t y t y t y a 即)()(t ay t af →,因此,系统具备齐次性。
由1)、2)可判定此系统为一线性系统。
② 时不变性分别将)()(00t t f t t y --和(t 0为大于0的常数)代入方程)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 左右两边,则左边=)(3)(2)(00202t t y dt t t dy dtt t y d -+-+- )(3)()(2)]()([)()2()(00000000t t y t t y t t d d t t y t t d d t t d d t t f dt t t df -+--+---=--+-右边= 而 ,)()()(000t t y dt d t t y t t d d -=-- )()]()([)(022000t t y dtd t t y t t d d t t d d -=--- 所以,右边=)(3)(2)(00202t t y dt t t dy dtt t y d -+-+-=左边,故系统具备时不变特性。
依据上述①、②,可判定此系统为一线性时不变系统。
(c )① 线性1)可加性在由式)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++规定的)()(t y t f →对应关系的前提下,可得)]()([3)]()([2)]()([2)]()([)(3)(3)(2)(2)(2)(2)()()(3)(2)(2)()(3)(2)(2)(2121'21''212121'2'1''2''122'2''211'1''1t f t f t y t y t y t y t t y t y t f t f t y t y t ty t ty t y t y t f t y t ty t y t f t y t ty t y ++++++两式相加=+++−−→−=+++−−−→−⎭⎬⎫=++=++ 即在)()()()(2211t y t f t y t f →→、的前提下,有式)()()()(2121t y t y t f t f +→+存在,即系统满足可加性。
2)齐次性由)()(t y t f →,即)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++,两边同时乘以常数a ,有)]([3)]([2)]([2)]([)(3)(2)(2)(''''''t af t ay t ay t t ay t af t ay t aty t ay =++⇒=++,即有 )()(t ay t af →,因此,系统具备齐次性。
依据上述1)、2),此系统为一线性系统。
② 时不变性分别将)()(00t t f t t y --和 (t 0为大于0的常数)代入方程)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++ 左右两边,则 )(2)(2)(00022t t y t t y dt d t t t y dtd -+-+-左边=右边=右边=≠-+--+-=-+---+---)(2)()(2)()(2)()()(2)()()(3000022000002020t t y t t y dt d t t t t y dt d t t y t t y t t d d t t t t y t t d d t t f因此,系统是时变的。
依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统。
(d )① 线性1)可加性在由式)()()]([2't f t y t y =+规定的)()(t y t f →对应关系的前提下,可得)()()()()]([)]([)()()]([)()()]([21212'22'1222'2112'1t f t f t y t y t y t y t f t y t y t f t y t y +=+++−−−→−⎭⎬⎫=+=+两式相加 而不是:)]()([)]()([})]'()({[2121221t f t f t y t y t y t y +=+++即在)()()()(2211t y t f t y t f →→、的前提下,并不存在)()()()(2121t y t y t f t f +→+ 因此系统不满足可加性,进而系统不具备线性特性。