2018-2019年控江中学高一下期中
一. 填空题
1. 若扇形的圆心角为
23
π，半径为2，则扇形的面积为 2. 若点(3,)P y -是角α终边上的一点，且4sin 5
α=-，则y = 3. 若2sin cos 3αα+=，则sin2α= 4. 若等差数列{}n a 中，63a =，{}n a 的前n 项和为n S ，则11=S
5. 若3cos 5α=且tan 0α<，则cos()2
πα-= 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层有灯 盏
7. 将式子cos αα化成cos()A αϕ+（其中0A >，[,)ϕππ∈-）的形式为
8. 若32ππα<<且4cos 5α=-，则tan 2
α= 9. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足：27n S n =+()n *∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =
10. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为
11. 若tan α、tan β是方程250x ++=的两根，且,(,)22
ππαβ∈-，则αβ+= 12. 若k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足sin1sin 2sin 3sin k ︒︒︒︒+++⋅⋅⋅+=
sin1sin 2sin 3sin k ︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个
二. 选择题
13. 若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（ ）
A. tan()tan()παα+=-
B. sin cot(
)2cos πααα+=- C. 1
csc sin()απα=- D.
2sec 1)sec 1tan ααα-+=（（）
14. 若5sin 213θ=，12cos 213
θ=-，则角θ的终边在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
15. 如图，在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是以原点为圆心的单位圆上的四段弧，点P 是其中⋅⋅⋅段弧上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边，且恒有tan cos sin ααα<<，则点P 所在的圆弧是弧（ ）
A. AB
B. CD
C. EF
D. GH
16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M
B. 若{}
n a M ，则22{}n a M C. 若{}
n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D. 若{}
n a M ，则{21}21n a M ++
三. 解答题 17. 已知tan 2α=.（1）求tan()4πα+
的值；（2）求2sin 2sin cos 21
ααα-+的值.
18. 已知{}n a 为等差数列，3810a a +=，66a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求25868a a a a +++⋅⋅⋅+的值.
19. 已知02
x y π
π<<<<，5sin()13x y +=. （1）判断tan tan x y +的正负性，并说明理由；
（2）若1tan
22
x =，求cos2x 和cos y 的值.
20. 对于集合12{,,,}n θθθΩ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义： 22210200cos ()cos ()cos ()n n
θθθθθθμ-+-+⋅⋅⋅+-=为集合Ω相对0θ的“余弦方差”. （1）若集合{,}34
ππ
Ω=，00θ=，求集合Ω相对0θ的“余弦方差”； （2）求证：集合2{,,}33ππ
πΩ=相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，
并求此定值；
（3）若集合{,,}4
π
αβΩ=，[0,]απ∈，[,2)βππ∈相对任何常数0θ的“余弦方差”是 一个与0θ无关的定值，求出α、β.
21. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==， 23327a b a b +=+=.
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设1()n n
c n a *=
∈N ，若3c ，k c ，m c 成等差数列（,k m 为正整数且3k m <<），求k 和m 的值；
（3）设n B 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数p ，使得364(1)n a n B p ≥++对一切n *∈N 均成立？若存在，求出p 的最大值；若不存在，说明理由.
参考答案
1. 43π
2. 4-
3. 59
- 4. 33 5. 45-
6. 192
7. 2cos()3πα-
8. 3-
9. 81212n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 10. 2322n n -+ 11. 23
π- 12. 11
13-16. ADCD
17.（1）3-；（2）1
3.
18.（1）26n a n =-；（2）1472.
19.（1）负；（2）7
cos 225x =-，16
cos 65y =-.
20.（1）38；（2）1
2；（3）712π
α=，1112π
β=.
21.（1）21n a n =-，1
2n n b -=；（2）5k =，23m =；（3）269-.。