7.2
§7.1 平面弯曲的概念与实例
7.1.2 梁的计算简图及分类
一、梁的计算简图 简化为一直杆并用梁的轴线来表示。
二、梁的分类 根据支座对梁约束的不同特点（支座可简化为三种形式：活动铰支
座、固定铰支座、固定端支座），简单的梁有三种类型： 1.简支梁 梁的一端为活动
铰支座，另一端为固定铰支座。 2.外伸梁 梁的一端或两
M ：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且 与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。
7.6
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反， 为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对 剪力和弯矩的正负符号做适当规定。 剪力的正负： 使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。 弯矩的正负： 使微段梁产生上凹下凸弯曲 变形的弯矩为正，反之为负。
N10 ×2 12 kN· m （由4-4截面右侧计算） ×1 M 4 q×2×1 FB ×2 4 ×2
7.10
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
从以上 1-1 、 2-2 截面的剪力值可以看出， 在集中力 作用处的两侧截面的剪力值将发 F 的大小； F
生突变，突变值就等于该集中力
2.代替：
在左半段的1-1截面处添画内 力FS 、 M，(由平衡解释)代替右半部分
对其作用。
7.5
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。 由 由
F
y
FA F1 FS 0
C
得
FS FA F1 M FAX F1 ( x a)
例如：为了减少简支梁的变形和提高其强度，在梁的跨中增设一活 动铰支座后，梁就成了一次超静定梁。 又如：为了减少悬臂梁的变形和提高其强度，在梁的自由端增设一 活动铰支座后，梁也就成了一次超静定梁。
7.4
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 7.2.1 截面法求内力
问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在 横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？ 例：欲求图示简支梁任意截面1-1 上的内力。 1.截开： 在1-1截面处将梁截分为左、右两部 分，取左半部分为研究对象。
7.1
§7.1 平面弯曲的概念与实例 梁：变形为弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，工程上习惯称之为梁。 平面弯曲：如果梁有一个或几个纵向对称面 （梁的轴线应为该纵向对称面内的一条平面直线， 且该纵向对称面与各横截面的交线也是各横截面 的对称轴），当作用于梁上的所有外力（包括横 向外力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一纵 向对称面内时，使得梁的轴线由直线变为在纵向 对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形就称为 平面弯曲。
端伸出支座之外的简支梁。 3.悬臂梁 梁的一端为固
定端支座、另一端自由。 7.3
§7.1 平面弯曲的概念与实例 这三种梁承受载荷后的支座反力都可由静力平衡方程求得，故一般 将它们统称为静定梁，如梁的支座反力的数目多于静力平衡方程的数目 的梁，用静力平衡方程无法求得全部支座反力，这类梁称为超静定梁。
B A
解 （1）求支反力 由
M
A
0
及
M
B
0
可求得
FA 10 kN
FB 10 kN
（2）求指定截面的剪力和弯矩 7.9
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
FS1 FA 10 kN
M 1 FA×1 10×1 10 kN· m FS 2 FA F 10 12 2 kN m M 2 FA×1 F×0 10×1 0 10 kN· FS 3 q ×2 FB 4×2 10 2 kN
7.8
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 弯矩公式中外力矩的正负规定：截面左段梁上的横向外力（或外力 偶）对截面形心的力矩为顺时针转向或右段梁上的横向外力（或外力偶） 对截面形心的力矩为逆时针转向时，在该截面上产生的弯矩为正，反之 为负。以上也可归纳为一个简单的口诀“左顺、右逆为正”。 例7.1 简支梁如图所示。试求图中各指定截面的剪力和弯矩。 设F 、 F 方向向上。
§7.1 平面弯曲的概念与实例 7.1.1 平面弯曲的概念与实例 弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。 例如：火车轮轴受力后的变形； 工厂车间里的行车受力后的变形； 还有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的变 形。 弯曲：构件在通过其轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的横向外 力的作用（受力特点），杆的轴线由直线变为曲线（变形特点）。
而从 3-3 、 4-4 截面的弯矩值可以看出，在集 中力偶 作用处的两侧截面的弯矩值将发生 Me 的大小。 Me
突变，突变值就等于该集中力偶矩
归纳剪力和弯矩的计算公式： 7.7
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
FS F
（截面上的剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。）
M M
C
（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力 矩的代数和。）
公式中外正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或 右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。 以上可归纳为一个简单的口诀“左上、右下为正”。
M
FAX F1 ( x a ) M 0 得
如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力 F 和 M，但
S
左、右半段求得的 F 及M 数值相等，方向（或转向）相反。
S
7.2.2
剪力和弯矩
FS ：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面1-1相切，故称
为截面1-1的剪力。
（由1-1截面左侧计算） （由1-1截面左侧计算） （由2-2截面左侧计算） （由2-2截面左侧计算）
（由3-3截面右侧计算） （由3-3截面 m M 3 M e q×2×1 FB ×2 4 4×2×1 10×2 8kN· 右侧计算） （由4-4截面右侧计算） FS 4 q×2 FB 4×2 10 2 k