一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
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3. 工程实例
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3. 工程实例
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4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
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第四章 弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 §4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图
弯曲内力习题课
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§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
1 2
R2
(
sin
)]
2
g
106.30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52
1 2
0.52(1.855
sin106.3 )] 1000
9.8
q — 均布力
9kN/m
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§4–2 梁的剪力和弯矩
一、弯曲内力：
a
[举例]已知：如图，P，a，l。 A
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
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例 试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。
RA
Pb L
RB
Pa L
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AC段：
Q(x) Pb (0＜x＜a) l
通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
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3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
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③固定端 3个约束，0个自由度。
P1
q
P2
M
纵向对称面
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非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。
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二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
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二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1
2q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
1a
2b
如图（b）示。
y x
qL A
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
x1Q1
M1 图（b）
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作
MC
用面垂直于截面的内力偶矩。
M P
RB
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2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
M (x) Pb x l (0≤x≤a)
CB段： Q(x) Pb P l
(a＜x＜l) M (x) Pb x P(x a)
l (a≤x≤l)
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q 解：①写出内力方程
M(x) L Q(x) x Q(x)
M(x)
○
x
– qL
qL2 2
⊕
x
Q( x ) qx
M
(
x
)
1 2
qx2
②根据方程画内力图
求：距A端x处截面上内力。 l
解：①求外力
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
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②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
mC 0 , M YA x
m XA A
YA
x
m
P B
RB
∴ 弯曲构件内力
如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式
①简支梁
XA YA
MA M — 集中力偶
②悬臂梁
q(x)— 分布力
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③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
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例4.4 图中外伸梁上均布载荷的集度为q=3kN／m，集中力 偶矩m=3kN·m。列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和 弯矩图。
RA =14.5kN， RB =3.5kN
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25
L RA
q0L2 6
Q(x) ⊕
3 3
L
⊕
M(x)
3q0L2 27
q0
RB
○x
q0L2 3
x
解：①求支反力
RA
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[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
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q
mg L
Vg
L
A1L1g
A2L 2g
L
A11g A2 2g
Dt 1g
[R2
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2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q( x2 a ) 0
Q2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
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§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0
Q( x ) q( x )dx Q( x ) dQ( x ) 0
x
dx
y
M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x) A dx M(x)+d M(x)
q( x )dx dQ( x )
dQx
dx
qx
剪力图上某点处的切线斜率
q0L 6;RBFra bibliotekq0L 3
②内力方程
Q(
x
)
q0 6L
(L2
3x2)
M (x)
q0x 6L
(
L2
x2
)
③根据方程画内力图
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关于集中力和集中力偶 集中力不可能“集中”作用于一点，它是分布于一个微
段△x内的分布力经简化后得出的结果 。
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§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系