1 q ( x2 a ) 2 0 2
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
FN Fs M F M图 A F + 2FR O B
q
Fs图
– F
FN图
+ F
O O M (q ) F ( R Rcosq ) FR(1 cosq ) (0 q )
一、构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。 二、载荷简化 1. 集中力(N，kN) 2. 集中力偶(Nm， kNm) 3. 分布载荷(N/m，kN/m)
P 载荷集度q： q lim0 x x
5
P m q m
三、 支座简化 ①固定铰支座：2个约束 A A A ③固定端：3个约束
XA MA
[例5-4] 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。 q
C a
A
RA
x
2a
RB
Fs qa 1 qa2 2
1 qa 4+
解：(1)计算支反力： B R 5 qa() RB 1 qa() A 4 4 (2)列剪力、弯矩方程：以A 为原点。
q(a x) (a x 0)
M
-
（3）画内力图：
x
ql FS ( x) －qx0 x l 2
M ( x)
FS
M
ql q x x2 2 2 q ( x l ) 2 1 ql 2 0 x l 2 2 8
(3)绘制剪力图、弯矩图 在FS=0处，M取得最大值。 14
F A RA
x x a
l
C b M(x) FS(x) F
B A
q
FAy
3a
[例5-6]作图示刚架的弯矩图。 解：(1) 求支座反力
Fx 0 : FCx 3qa
M C 0 : FAy
3qa 3a 2 9 qa 2a 4 9 qa 4

20
CF
Cx
F y 0 : FCy

FCy
2a
(2) 对各杆分段求内力
0 x2 l
(外侧受拉)
（2）画弯矩图
P1a+ P2 l
23
4. 平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。 [例5-8] 如图所示平面曲杆，已知F及R 。试画Fs、M 及FN 图。 解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面m–m的位置。 R F 取研究对象，画其受力图如下 图示： q B A
B
q
3a
A 9qa 4
BA杆：以A为原点
F F
x
0 : FN ( x1 ) 0 0 x1 2a
C
9qa 4
3qa
FN 2
M2
q
FN 1
O x2
2a M1
0 : Fs ( x1 ) 9 qa 0 x1 2a y 4 M O 0 : M ( x1 ) 9 qax1 0 x1 2a 4
变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
3
对称轴
P q
m
轴线
RA
纵向对称面
RB
对称轴
平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵 向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条 平面曲线。 4
§5.2
梁的计算简图
计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。
a A x
F1
C
计算方法：截面法 例：求截面1-1上的内力。 解：(1)确定支反力RA和RB
Fy 0 :
RA F1 FS 0
F1 1
F2
m
B
1
RA (2)取左段梁为研究对象：
RB M FS F2 M
m
FS RA F1
RA
x
M C 0 : M F ( x a) R x 0 1 A
Fs (q ) Fsinq (0 q )
FN (q ) Fcosq (0 q )
25
§5.5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析：
F y 0:
FS ( x ) q( x )dx FS ( x ) dFS ( x ) 0
B
9 2 qa图 BA杆：以A为原点
M ( x1 ) 9 qax1 0 x1 2a 4
M
C
弯矩图画在 BC杆：以C为原点 q 2 M ( x2 ) 3qax2 - x2 0 x2 3a 受拉侧 2
B 9qa 4 + FS C
A
m A RA x x a
C b
B RB
解：(1)计算支反力：
l x
m RA FS x m /l + mb /l M ma /l
M A 0 : RB m / l M B 0 : RA m / l
RA
M(x) FS(x) M(x) FS(x)
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、 CB两段考虑，以A为原点。 m FS ( x ) RA 0 x a AC段： l
（3）分段规律：
19
3. 刚架：在工程中，常遇到由不同取向的杆件，通过 杆端相互连接而组成的框架(frame)结构。 具有刚节点的框架称为刚架(rigid frame)。 刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。 铰结点：能相对转动，不能相对移动。 注意：刚架的内力有Fs、M、FN , 这里只讲弯矩图画法。
6
②可动铰支座：1个约束 A
YA
XA
A A YA
A
YA
四、静定梁的三种基本形式 静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和 内力。 ① 简支梁(simple beam)
② 外伸梁(overhanging beam)
③ 悬臂梁(cantilever beam)
7
§5.3
弯曲内力——剪力和弯矩
（2）求截面内力 1-1截面: Fs1 R A 1 F
4 M1 R A a M 0 1 F a Fa 5 Fa 4 4 2-2截面: Fs 2 R B 3 F 4 M 2 R B a 3 Fa 4
12
§5.4
剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
1. 内力方程： 剪力方程：FS=FS（x） 弯矩方程：M=M（x） 2. 剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的 图形。 FS x M 计算步骤： (1)确定支座反力； (2)分段建立剪力、弯矩方程； (3)作剪力图、弯矩图。 x
FS 1
BC杆：以C为原点
A 9qa 4
O
x1
Fy 0 : FN ( x2 ) 9 qa 0 x2 3a 4
FS 2
F
x
0 : Fs ( x2 ) 3qa qx2
q 2 x 2 2
0 x2 3a
0 x2 3a
21
9qa 4
C
3qa
M O 0 : M ( x2 ) 3qax2 -
M RA x F1 ( x a)
FS
8
RB
内力的正负规定: ①剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。 或者说：左上右下的FS为正，反之相反。
FS(+) FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
B
9qa + 4
A
FN C
22
3qa
[例5-7] 试作图示刚架的弯矩图。
F2 B a F1
解：（1）列各杆弯矩方程 BC杆：以C为原点
M ( x1 ) F1 x1
x2
l
x1 C
0 x1 a
(外侧受拉)
A P1a
P1a
BA杆：以B为原点
M ( x2 ) F1a F2 x2