第四章 弯曲内力
§4–1 弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4–6 平面刚架的内力图 §4–7 按叠加原理作弯矩图
§4-1 弯曲的概念和实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 ,轴
FOy P ; MO PL
FOy
Fs
x
P
Fs(x)
② 写出内力方程
M
Fs ( x) FOy P
M ( x) FOy x M O
x
P ( x L)
PL
–
x
③ 根据方程画内力图
例5. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 q q 解：① 写出内力方程 L Fs(x) M ( x)
对称轴
FAy
FBy
对称弯曲时，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在
平面相重合，因此也称为平面弯曲。
起重机大梁
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
§4-2 受弯杆件的简化
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分
析计算，应进行必要的简化，抽象出梁的计算简图。
1. 构件本身的简化: 通常以梁的轴线代替梁。 2. 载荷简化: 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化：
解：
q — 均布载荷
106.30 1.855 rad
g A2 L 2 g L
mg Vg A L q
1
1
L
L
A1 1 g A2 2 g
1 2 Dt 1 g [R R ( sin )] 2 g 2 3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52
a
b F l
作图时，对 –
x
，向下

ab F l
突变，与力的方向一
致。 M 图：尖角
x
a F l
M

例3. 已知 l= a+ b，求图示梁的内力方程，并画出内力图。
x Me
解：① 求支反力 B b
RB
A
RA
Fs
a
x
C
Me l
RA
Me M ; RB e l l
② 内力方程：分段
Me AC段： l M M ( x) e x l Me CB段： Fs ( x) l M M ( x) e x M e l Fs ( x )
超静定梁：仅由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部 支反力。
例. 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10 mm，
钢的密度为：7800kg/m³ ，液体的密度为：1000kg/m³,液面高
0.8m，外伸端长 1m，试画贮液罐的计算简图。
h 80 cm
106.3 1.855rad
几何解释：弯矩图上某点处的切线斜率等于梁上对应位置处剪
力的大小。
dx
弯矩与荷载集度的关系是：
M(x)
Fs(x)+dFs(x) C
dM 2( x) q( x) 2 dx
例7. 求图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：① 求支反力：
F=20 kN
x1
M e=40 kN.m
q=10 kN/m
B
FRA 35kN ; FRB 25kN
C
FRA
1m 15 kN
A
D
x2
② 剪力方程：分段
FRB
4m
CA段： Fs ( x1 ) 20
AB段：
Fs ( x2 ) 20 FRA 10 ( x2 1) 25 10x2
M Mc
( 一侧）
对外力产生的力矩，向上外力 对力偶，左侧：
，取正；反之取负。
，取正；反之取负。
例：求图示梁1--1、2--2截面处的内力。
M e=10 kN.m q=2 kN/m A
1
2
解：① 求支反力
F=2 kN
FRA 3kN ; FRB 7kN
D
C
1
2
B
FRA
4m
FRB
2m 2m
FAy F (l a) l
FAx A
FAy
B FBy
M
A
Fy 0 :
② 求内力 — 截面法 FAx A
F (l a) Fy 0 : Fs FAy l F (l a) M C 0 : M FAy x l x
m
F
B
FAy
m
x
FBy
F s图
–
20 kN

1.5m
–
-25 kN
Fs= 0截面位置的确定：
15 25 x 4 x x 1.5m
F=20 kN
x1
M e=40 kN.m
q=10 kN/m B
③ 弯矩方程：分段
C
A
D
x2
CA段： M ( x1 ) 20 x1
AB段：
M ( x2 ) 20 x2 FRA ( x2 1)

x
M
a Me l
–
b Me l
x
③ 根据方程画内力图
x
Me
讨论：集中力偶作用的截面
B b
RB
A
RA
Fs
Fs 图：不受影响
M 图：发生突变，突变值
a b Me Me Me l l
a
x
C
Me l

x
M
突变方向：从左向右
作图时，对
突变。
向下
a Me l
–
b Me l
x
例4. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 MO L P 解：① 求支反力 M(x)
q(x)
C
Fs(x)
q(x)
M(x)+dM(x)
x
dx
0 对dx 段进行平衡分析， Fy：
y
Fs ( x) q( x)dx Fs ( x) dFs ( x) 0
dFs x qx dx
几何解释：剪力图上某点处的切线斜率等于梁上对应位置处
载荷集度的大小。
1 2 M 0 : F ( x )d x q ( x )d x M ( x) [ M ( x) dM ( x)] 0 C s 2 dM ( x) Fs ( x) dx
FAx
A
A
FAy
固定铰支座 A
FAy
活动铰支座 MA FAy A
FAx
固定端（平面）： 3个约束力 4. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如下述三种基本 形
静定梁的三种基本形式：
M —集中力偶
① 简支梁 ② 悬臂梁 ③ 外伸梁 q — 均布载荷 P — 集中力 q(x) — 分布载荷
–
a F l
x
M

x
a CB段：Fs ( x) RA F F l Fb Fa M ( x) x F ( x a) (l x) l l
③ 根据方程画内力图
讨论：集中力作用的截面
x F x
A
RA
Fs
C b
B
Fs 图：发生突变，突变值
b a F F F l l 突变方向：从左向右
剪力 ∴ 梁的内力 弯矩 FAy
A
Fs C Fs M M F
1. 弯矩 M ： 构件受弯时，位于纵向 对称平面内的内力偶矩。
C
FBy
2. 剪力Fs ：构件受弯时，与横截面相切的内力。
3. 内力的正负规定: ① 剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Fs (+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
2
1 0.52 (1.855 sin106.3 )] 1000 9.8 2 9617.5 kN m
§4-3 剪力和弯矩
一、弯曲内力 如图，F，a，l。求：距 A l F a F B
A端 x 处截面上内力。
解：① 求约束力
F
x
0:
0:
FAx 0
Fa FBy l
x
Fs
Fs ( x) qx
1 2 M ( x) qx 2
– M –
x qL
② 根据方程画内力图
x
qL2 2
例6. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 qx
q0 解：① 求支反力 q0L q0L RA ; RB 6 3 x qx q0 L ② 内力方程 q0 2 1 Fs ( x) RA q x x ( L 3x 2 ) 2 6L 1 1 M ( x) RA x q x x x 2 3 qx 0 ( L2 x 2 ) 6L ③ 根据方程画内力图
② 弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为 负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
例：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 2
qL
q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体，
1
1 a
2
图（a）
b
如图（b）示。
qL A M1 x1 Fs1
F
x
y
0 : qL Fs1 0 Fs1 qL
y
M
A
0 : qLx1 M 1 0
图（b）
M 1 qLx1