对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的 势能取极小值，即
min [(u) U W ]
u ( x )BC ( u )
下面应用最小势能原理来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题， 如同样取满足位移边界条件的位移场，则计算应力、应变为
(x) du c
x
dx
x (x) E x (x) E c
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
下面应用虚功应力来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题，
设有满足位移边界条件的位移场 u(x) cx
(4-13)
可以验证：它满足位移边界条件。这是一个待定函数，也称为试函 数，所谓该函数是待定的，就是因为它中间有一个待定系数，这就需要 通过一个原理来确认它，下面由虚功原理来进行确认。基于式(4-13)的试 函数，则它的应变、虚位移以及虚应变为
(x) |xl
F A
px
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求解，即: 直接求解法：可以由3个方程来直接求解3个变量; 间接法(试函数)：选取变量(位移)作为基本的待求变量，将其它变量都
用它来表达，并采用间接的近似求解方法。具体的做法如下：
假设满足位移边界条件的位移变量可能解(含待定的系数)，称为试 函数，让该受力系统的势能取最小值来最后确定出可能解(试函数)中 的那些待定系数；也可以让该受力系统的内部变形虚功等于外部施加 力的虚功，来求出试函数中的那些待定系数。
北京工业大学机电学院
有限元分析及ANSYS
Finite Element method and ANSYS
程强
第四章 杆梁结构的有限元方法
4.1 杆梁结构分析的工程概念 4.2 杆件有限元分析的标准化表征与算例 4.3 梁件有限元的标准化表征与算例 4.4 本章要点回顾
4.1 杆梁结构分析的工程概念
现在进一步讨论弹性力学中有关变形体的虚功原理，这时的虚功应 包括外力虚功δW和内力虚功− δU，δU叫做虚应变能。由于弹性体在变形 过程中，内力是抵抗变形所产生的，其方向总是与变形的方向相反，所 以内力虚功取负。由于虚功总和为零，则有
W U 0
弹性力学中的虚功原理可表述为：在外力作用下处于平衡状态的变 形体，当给物体以微小虚位移时，外力所做的总虚功等于物体的总虚应 变能(即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功)。注意这里的虚位移是 指仅满足位移边界条件BC(u)的许可位移。
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
在机械结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的 计算分析对于机械结构设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁 、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需 要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应 的1D、2D、3D模型。
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
图4-2 一端固定的拉杆
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
基本变量：
由于该问题是沿x方向的一维问题，因此只有沿x方向的基本变量， 即定义沿x方向移动为位移：
定义：沿x方向移动为位移：
u(x)
沿x方向的相对伸长(或缩短)量为应变： ( x)
沿x方向的单位横截面上的受力为应力：
x
(x)
基本方程：
x
①
取出杆件的任意一个截面，可得到平衡方程(无体力)为
x
(
x)
c1或
d x
dx
0
② 取出杆件x位置处的一段长度dx，设伸长为du，则相对伸长量为 du
③ 由该材料的拉伸试验，可得到该材料的虎克定律为
x
dx x
位移边界条条件
x0
力边界条件BC(p)
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1D问题的虚功原理求解 先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思想，
然后再具体求解一端固定的拉杆问题。
如图4-3所示的一个平衡力系，由于该系统处于平衡状态，则有
p A
l B
pl
B
A
假想在该平衡力系上作用有微小的扰动(不影响原平衡条件)，且外力
所作用的位置产生了微小的位移变化，即ΔA，ΔB。该假想的位移如果不
则计算该系统的势能为
(u)
U
W
1 2
E
c2
Al
影响原平衡条件，应满足以下几何关系
B
l B
l
A
A
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
这就是任意扰动的位移应满足的条件，称为许可位移条件，我们把 满足许可位移条件的、任意微小的假想位移称为虚位移。
F A F B 0
A
B
即：对于一个处于平衡状态的系统，作用于系统上的所有外力在满足许
可位移条件的虚位移上所做的虚功总和恒为零。
(x) c u(x) c.x (x) c
其中δc为待定系数的增量。计算如图4-2所示算例的虚应变能以及外 力虚功为
U
x
x
d
l
0
AE
x
x
dAd
x
Ecc •
Al
W Fu(x l) Fc l
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
由虚功原理，有 E c c Al F c l
消去δc后，有解