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杆梁结构的有限元分析原理
§2.1 一维单元 －轴向受力杆
Step 1 离散 Discretization 将杆划分为几个单元，用标准化的分段小单元来逼近结 构
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Step 2 选择单元的位移模式 寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 对于如图杆单元，该单元位移场为u(x)，那么它 的两个节点条件为：
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求解支反力： 系统方程重组，分块：
＝> 未知节点位移 ＝> 求得支反力
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Trivial expression 修改对角元素, α为一个非常大的数 ,1015
Advantage is 1) easy to be programmed 2) the properties of [K] are kept.
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Step 2 选择单元的位移模式
根据节点条件，可以确定出待定系数：则
则u(x)表达称为节点位移（u1，u2）的关系，即
矩阵表达形式
N为形函数矩阵
q为节点位移列阵
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Step 3 应变和应力Strain Field and Stress Field 由一维问题的几何方程和物理方程，可以得到位移与 应变的关系，则： where [B] is （应变矩阵）strain matrix which is given as
Chapter 1 About Finite Element Method
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有限元分析的基本步骤
⑤引入边界条件 Impose the boundary conditions 修改系统方程 ⑥解方程 Solve the system equations 得到未知问题的节点值 ⑦后处理 Make additional computations if desired 例如节点位移 → 应变与应力
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福州大学研究生课程－有限元Байду номын сангаас序设计
Step 8. 求解方程 Solving equations. Assume EA=const. L i = l0/ 3 = L , q(x)=q0 In the example
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Step 9. 其他计算 Additional calculation
在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中的任意 一个位置，因此需要将原来局部坐标系中所得到的单 元表达等价地变换到整体坐标系中，这样不同位置的 单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成 的和装配。
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局部坐标系中的节点 位移：
整体坐标系中 的节点位移：
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建立立单元的平衡方方程
{F}e = ∫ [ B] E[ B] Adx{u}Δ[k ]{u}
0
Li
T
其中K为杆单 元的刚度矩阵： P为节点力力列阵：
二二结点一一维单元
单元势能的表达
＝Ue-We
运用最小势能原理对位移求极值 建立单元的平衡方程
K e ⋅ qe = Pe
其中K为杆单 元的刚度矩阵： P为节点力列阵：
• 有限单元法的概念
• 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 • 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸图(a) • 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A， 弹性模数为E
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• 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 • 1、离散化
单元的势能是一个标量，不会由于坐标系 的不同而改变，将变换后的参数带入，则
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由最小势能原理，则得到整体坐标系中的刚度 方程为：
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Chapter 1 About Finite Element Method
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杆单元及其坐标变换
(1)
(2)
杆单元扩展用于桁架构件，对于平面桁架构件， 一个节点为两个自由度 如果是桁架构件，需要坐标变换
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未知场函数(导数)在各结点上数值——自由度
Chapter 1 About Finite Element Method
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Ø 杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离 散成杆元和梁元。
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
梁 拱 框架 桁架
○
○
○
○ ○
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有限元如何实现?
分段近似 近似函数 联接简单函数 在小段区域内定义 (element) 利用每个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域 上待求的未知场函数
有限元法的基本思路
将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一 个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系 统近似的系统。
有限元程序设计方法简介
程序基本框图
1、输入基本数据（结构描述）： （1）控制数据：如结点总数、单 元总数、约束条件总数等； （2）结点数据：如结点编号、结 点坐标、约束条件等； （3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、 几何特性等； （4）载荷数据：包括集中载荷、 分布载荷等。
开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果 结束
则设该单元的位移场具有线性模式 （考虑两个待定系数）
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u =[ N
i
( x) i
N
( x) 2
⎧ u1 ⎫ ⎧ u1 ⎫ ] ⎨ ⎬ = [N ] ⎨ ⎬ ⎩u2 ⎭ ⎩u2 ⎭
i
i
i
= [1 − x / Li
⎧ u1 ⎫ x / L] ⎨ ⎬ ⎩u2 ⎭
在大多数情况中，外力并不直接作用于节点，例如： 沿单元轴向施加的剪切力。因此，要将外力转换为 节点等效荷载，
F : concentrated axial loads;
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Step 6 单元集成或组装Assemblage of Elements
该系统的组装程序是基于单元节点的相容性条件和平 衡条件。相容性：通过节点连接的单元的未知节点变 量是相同的。平衡条件：某一方向上的节点力之和要 等于作用在该节点上的外力合力。 离散单元进行装配，整体刚度矩阵由两个单元的 刚度叠加而成 K=K(1)+K(2)+… 与整体节点位移向量相互对应 {δ }T=[u1 u2 u3 u4]
• 2 把外载荷集中到节点上 • 把第i 单元和第i+1 单元重量的一半 • 集中到第i+1 结点上
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• 3、假设线单元上的位移为线性函数 • 用单元节点位移表示单元内部位移 • 第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，
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有限元程序设计
谷 音 福州大学土木工程学院
2015
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有限元法
n n n n
直接法（一维杆单元） 虚功原理 变分法 加权余量（残值）法
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杆梁结构的有限元分析原理
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应变矩阵（几何函数矩阵）[B]是一个与x无关的常矩 阵。 E 为杨氏弹性模量
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Step 4 单元的平衡 Element Equilibrium Relation 节点力Fi作用在单元节点 虚位移
列向量表示单元节点位移
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由虚功原理
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有限元法的一般概念
n
n
加权余量方法和变分法通过对未知场函数进行 试函数近似，能把连续问题化为离散问题，但 求解能力有限，一个主要障碍就是试函数是在 全场范围内定义的。 有限元法的思想是把整个求解区域分成一些既 不重叠也没有裂缝的子区域（单元）－瑞利里 兹法。以未知函数在节点上的值作为基本未知 参数，运用各种方法得到单元的刚度方程，这 样就可以用离散的方法求解。
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结果
补救方法: 增加自由度 increase the dof
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有限元分析的基本步骤
① 离散连续体Discretize the continuum （前处理 preprocessing）划分单元 ②选择插值函数 Select interpolation functions 定义节点 Assign nodes 选择插值函数Choose the interpolation function ③单元分析Find element properties 平衡方程，应力应变描述Equilibrium, expression of strains, stresses ④ 组合集成单元Assemble the element properties 获得整体系统方程to obtain the system equations The expression of the behaviour of the system