第27章：相似一、基础知识(一)相似1.定义:形状相同的图形称为相似图形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.相似比：相似多边形对应边的比。
3.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.4.相似三角形的判定（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。
（3）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（4）（类似全等SSS）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（5）（类似全等SAS）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（6）（类似全等AAA）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（7）（类似全等HL）：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
5.三角形中位线定义（区别于中线）:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
8.射影定理（补充知识，选讲）：△ABC中，∠C=90°，AB边的高为CD，则有：CD²=AD*BD，AC=AD*AB，BC=BD*AB (二)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. [参考答案] ①135°，22 ②能判断△ABC 与△DEF 相似，∵∠ABC=∠DEF=•135°，AB BCDE EF==2 【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断． 例2. 如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于（ ）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米 [考点透视]本例主要是考查相似的应用 [参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“1.5AB”． 例4.B 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 [参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，•一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答,AE/AD=PN/BC.例5.B 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ，CE=y ． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=•∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．• 又∠DAB+•∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB ，∴△ADB ∽△EAC ，∴1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y=1x． (2)当α1β满足β- 2α =90°，y=1x仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB ．又∵∠ABD=∠ACE ，∴△ADB ∽△EAC ，∴y=1x． 【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系． 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[参考答案]807m 【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．练习1．A 如图所示，在△APM 的边AP 上任取两点B ，C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．求证：P A ∶PB ＝PC ∶PD ．2．A 已知：如图，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且23DE AE ，CE 交BD 于点F ，BF ＝15cm ，求DF 的长．3．B -A 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )A ．4．A 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，想一想，(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证：AC 2＝AD ·AB ；BC 2＝BD ·BA ； (3)若AD ＝2，DB ＝8，求AC ，BC ，CD ； (4)若AC ＝6，DB ＝9，求AD ，CD ，BC ； (5)求证：AC ·BC ＝AB ·CD ．射影定理(1)△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB ，△ACB ∽△CDB ；(2)略； (3);4,54,52===CD BC AC (4);36,33,3===BC CD AD (5)提示：AC ·BC ＝2S △ABC ＝AB ·CD ．5．如图所示，已知AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，F 为BC 上一点，且∠EAF ＝∠C ．求证：(1)∠EAF ＝∠B ；(2)AF 2＝FE ·FB ．6．已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，以AD 为直径的半圆与BC相切于E 点．求证：AB ·CD ＝BE ·EC ．7．B 已知D 是BC 边延长线上的一点，BC ＝3CD ，DF 交AC 边于E 点，且AE ＝2EC ．试求AF 与FB 的比．（⋅=21FB AF 提示：过C 作CM ∥BA ，交ED 于M ．） 8．Ｂ已知：如图，AD 是△ABC 的中线．(1)若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F ，求BFAF； (2)若E 为AD 上的一点，且kED AE 1=，射线CE 交AB 于F ，求⋅BF AF{(1);21=BF AF （作EC 中点M ，连接ＤＭ）(2)1∶2k }9．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m)∵EF ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFD ．又∠CBA ＝∠EDF ＝90°，∴△ABC ∽△FDE ．)m (2.181.11.1265.1≈⨯=⋅=∴⋅=∴BA DF BC DE DF BA DE BC 故教学楼的高度约为18.2m ．10．B_A 已知：如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是角平分线．(1)求证：AD 2＝CD ·AC ； (2)若AC ＝a ，求AD ．(1)提示：证△ABC ∽△BCD ；(2).215a - 11．A （面积比周长比）已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且AE BD EC BE ,,21=相交于F 点．(1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；(2)若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2，求△AFD 的面积S △AFD ．(1);31 (2)54cm 2．12．已知：四边形ABCD 及点O ，试以O 点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．。