E D A E D A （第5节）相似三角形的识别（AA ）
目标：使学生理解并掌握相似三角形的识别方法（AA ）。

并能简单应用。

学生初识双垂直
定理
重点：定理“两角相等，两三角形相似”的应用。

过程：
一、复习：相似三角形预备定理。

1.在△ABC ，DE ∥BC ，且AD ：DB=2：3，DE=1.5，求BC 的长。

2. 在△ABC ，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=2：3，△ADE 与△EFC 相似吗？相似比k= .
二、探究：
在△ABC 和△A ’B ’C ’中，如果：∠A=∠A ’， ∠B=∠B ’→
△ABC ∽△A ’B ’C ’（AB>A ’B ’）
在AB 上截取AD=A ’B ’。

做DE ∥BC ，交AC 与E
则△ADE ∽△ABC
又∵∠1=∠B ，∠B=∠B ’ ∴∠1=∠B ’
在△ADE 和△A ’B ’C ’中
∠A=∠A ’
AD=A ’B ’
∠1=∠B ’
∴△ADE ≌△A ’B ’C ’
∴△ABC ∽△A ’B ’C ’
定理：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

练习：１、两个等腰三角形在什么条件下是相似三角形，为什么？
顶角相等的两个等腰三角形；底角相等的两个等腰三角形
2、 如图，DE ⊥AB 于E ，BC ⊥AD 于C ，DE 、BC 相交于F
找出图中的相似三角形
→分离出基本图形
双垂直图形
公共锐角 对顶角
应用：
例1：已知：△ABC 中∠C=90°，ED ⊥AB 于D 你能得出什么结论？
解：∵ED ⊥AB 于D
∴∠1=90° ∴∠1=∠C
又 ∠A=∠A
∴△AED ∽△ABC （里角对应相等，两三角形相似） ∴BC
ED AC AD AB AE == 双垂直图形 ∴AE ·AC=AB ·AD
（点评：①观察图形特征：在两个Rt △必有一旦锐角对应相等，这两个直角三角形相似；②看结论，AE ·AC ，AB ·AD 积中的两条线段共线，此时图中不存在平行线，即ED 不可能与CB 平行，等积式的成立应从相似三角形入手③如果比例前项后项共线则必存在平行线；）
例2：将ED 平移，形成Rt △斜边上的高。

又会有什么结论？
这三组相似三角形不仅有公共角还有公共边。

△ACD ∽△ABC AC 2=AD ·AB
△BCD ∽△BAC BC 2=BD ·AB
△ACD ∽△CBD CD 2=AD ·BD 双垂直图形
例3：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 若BC=3，AC=4
试求出AD ·BD 和CD
解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3
∴5342222=+=+=BC AC AB
∵CD ⊥AB ∴
CD AB BC AC ⋅=⋅2121 ∴5
12=CD ∵∠1=∠ACB=90°，∠B=∠B ∴△BCD ∽△BAC （ ）
∴BC ：AB=BD ：BC ∴AB BD BC ⋅=2
∴9=5BD ∴59=BD ∴5
16595=-=-=BD AB AD
练习：已知，如图：∠ACD=∠B ，且AD=4，BD=5
求：AC 的长
小结：1、两组对应角相等—→两三角形相似—→对应边成比例；
2、在Rt △中，只需一组锐角相等，即可证出相似三角形。

3、 熟识双垂直图形，会证明AC 2=AD ·AB ， BC 2=BD ·AB
CD 2=AD ·BD 。

并能应用他们做到六条线段知二求四。

作业：1、△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠A=40°，∠B=70°，∠A ’=40°，
∠C ’=70°； 求证：△ABC ∽△A ’C ’B ’
2、已知：△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=25°，∠C=50°，∠B ’=105°，
∠C ’=25°；这两个三角形相似么？为什么？
3、已知：如图，D 、E 是△ABC 中AB ，AC 上的点
且∠C=85°，∠A=35°，∠AED=60°
求证：AD ·AB=AE ·AC
4、已知：如图，AB ∥A ’B ’，BC ∥B ’C ’，
AC ∥A ’C ’
求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’
5、已知△ABC ，在BC 上取一点D 做一直线，与AC 相交于E ，使新构成的三角形与原三角形相似（画出图形，说明理由）。