⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数初一数学——有理数（绝对值与乘方）一、考点、热点回顾第二章 有理数及其运算※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
※绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
※绝对值的性质：①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|※有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加；越来越大④几个数相加能得到整数，可以先相加。
※有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号； ②改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。
¤有理数的加减法混合运算的步骤：①写成省略加号的代数和。
在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。
（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。
） ※有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘，积仍为0。
※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。
（如：-2与21 、 3553与…等） ※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。
¤乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意： ①零没有倒数②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
※有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
②0除以任何非0的数都得0。
0不可作为除数，否则无意义。
※有理数的乘方 ※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
※乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
※有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。
②如果有括号,先算括号里面的。
二、典型例题和绝对值有关的问题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）=⨯⨯⨯⨯a n a a a a 个n a指数 底数A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． B 练习:表示数a 、b 、c 、d 的点在数轴上的位置，如图所示：化简│b-c │-│a-2c │-•│d+b │+│d │．例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 练习：计算|12006-12005|+|12007-12006|-|12007-12005|。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？练习：如果0abc ≠，求||||||a b c a b c++的值。
例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个练习：绝对值不小于3但小于5的所有整数的乘积为________； 例5．（非负性）已知|ab －2|与|a －1|互为相反数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++练习：若│a-1│+│ab-2│=0，求11(1)(1)(2004)(2004)a b a b ++++++的值．若x=-2π，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ） （A ）2x+7 （B ）2x-7 （C ）-2x-7 （D ）-2x+7例6．已知a 与b 互为相反数，且│a-2b │=32，求代数式2221a ab b a ab b --++-的值．练习：已知a 2+│5a-4b+3│=0，求a 2006-8b 3的值．已知式子||||||a b ab a b ab ++的最大值为p ，最小值为q ，求代数式669p-q 2的值．1.若b a b a b a 、则为有理数、,,22=的关系是 （ ） A 、相等 B 、互为相反数 C 、互为倒数 D 、相等或互为相反数2.某地遭遇旱灾，约10万人的生活受到严重影响，现调拨一批粮食救济灾区人民的生活，若这批粮食可供灾区人民生活20天，平均每人每天需0.5千克，则这批救济粮约为 （ ）A 、61.010⨯千克B 、51.010⨯千克C 、71.010⨯千克D 、81.010⨯千克3.m 为任意有理数，下列说法正确的是 （ ） A 、()m +12的值总是正的 B 、m 21+的值总是正的 C 、()-+m 12的值总是负的 D 、12-m 的值总比1小4.下列各数按从小到大的顺序排列正确的是 ( ).A..（-0.2）3<0.54<(-0.3)4B.-0.54<(0.3)4<(-0.2)3C.-0.54<(-0.2)3<(-0.3)4D.(0.3)4<-0.54<(-0.2)35.设n 是一个正整数，则10n 是 ( )A..10个n 相乘所得的积；B.是一个n 位的整数；C.10的后面有n 个零的数；D.是一个(n+1)位的整数.6.下列各式中，计算结果得零的是 （ ）.A ．-22+（-2）2B ．-22-22C ．-22-（-2）2D ．（-2）2-（-22）7.若2-x +232y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0,则x y =_______。
8.地球离太阳约有一亿五千万千米，用科学记数法可记为 千米.9.把下列各数写成科学记数法：800＝___________，613400＝___________。
27. 32)32()51()3141(58-÷-÷-⨯ 28. )3.0()9.0()6()2(2233-÷---⨯---29. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯---+-)3(2)32(243)5( 30. 2232)64()21()2()2(4---⨯---÷-31、()()()33224176532⎡⎤-⨯-÷+--÷-⎡⎤⎣⎦⎣⎦32、地球上的植物每年能生产171.6510⨯克即176.610⨯大卡的有机物质，但实际上人类只能利用其110，即166.610⨯大卡，若每人每天消耗2200大卡植物能量，试问地球上最多可以养活多少亿人口？（6分）三、课后练习1、如图，有理数b a ,在数轴上的位置如图所示：则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ） A ．3个 B ．1个 C ．4个 D ．2个 2、若m 是有理数，则m m -一定是（ ）A ．零B ．非负数C ．正数D ．负数3、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2<x C ．2≥x D ．2≤x4、b a ,是有理数，如果b a b a +=-，那么对于结论（1）a 一定不是负数；（2）b 可能是负数，其中（ ）A ．只有（1）正确B ．只有（2）正确C ．（1）（2）都正确D ．（1）（2）都不正确 5、已知a a -=，则化简21---a a 所得的结果为（ ） A ．1- B ．1 C ．32-a D ．a 23-6、已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于（ ） A ．1 B ．5 C ．8 D ．97、已知c b a ,,都不等于零，且abcabcc c b b a a x +++=，根据c b a ,,的不同取值，x 有（ ） A ．唯一确定的值 B ．3种不同的值 C ．4种不同的值 D ．8种不同的值 8、满足b a b a +=-成立的条件是（ ） A ．0≥ab B ．1>ab C ．0≤ab D ．1≤ab 9、若52<<x ，则代数式xx xx x x +-----2255的值为 。
10、若0>ab ，则abab bb aa -+的值等于 。
11、已知c b a ,,是非零有理数，且0,0>=++abc c b a ，求abcabc c c b b a a +++的值。