近世代数习题解答
第一章 基本概念
1 集合
1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现?
解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下
当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾;
若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A =
2.假定B A ⊂,?=B A I ,A ∩B=?
解׃ 此时, A ∩B=A,
这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A =I ,B B A ⊃Y , 及由B A ⊂得B B A ⊂Y ,故B B A =Y ,
2 映射
1.A =}{
100,3,2,1，⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21,
1212),(a a a =φ
易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射.
2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象.
3 代数运算
1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法
是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?
解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.
2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算.
解׃
a b c a a b c
a b c b b c a a a a a
c
c a b b
d a a
c a a a
4 结合律
1.A ={所有不等于零的实数}.ο是普通除法:b a b a =
ο.这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律:
2
12)11(=
οο, 2)21(1=οο ,从而 )21(12)11(οοοο≠. 2.A ={所有实数}.ο: b a b a b a ο=+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?
解׃ 这个代数运算不适合结合律
c b a c b a 22)(++=οο,c b a c b a 42)(++=οο
)()(c b a c b a οοοο≠ 除非0=c .
3.A ={c b a ,,},由表
所给的代数运算适合不适合结合律?
解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.
5 交换律
1.A ={所有实数}.ο是普通减法:b a b a -=ο.这个代数运算适合不适合交换律? 解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =.
2.},,,{d c b a A =,由表
a b c d a
a b c d b
b d a
c c
c a b
d d d c a b
所给出代数运算适合不适合交换律?
解׃ d d c =ο, a c d =ο a b c a a b c b b c a c c a b。