三角求值与解三角形专项训练1三角公式运用【通俗原理】1•三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P|~y",则siny ,cos r x , ,ta n r 弘0)2 .基本公式： 2 2sin c os1,tansin cos3 •诱导公式：其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定a② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos(4 •两角和差公式:si n( ) sin cos cos sin ,cos() cos cos msinsin ,tan() tantan1 mtan gtan5.二倍角公式：si n22si n cos ,cos2cos 2sin 22cos 21 1 2sin 21 tan 26 .辅助角公式：① asin bcos、、a 2 b 2 sin(其中由tan b及点(a , b)所在象限确定a【典型例题】1.已知R，证明：sin(-) cos4 •求cos15o tan 15o的值.、 35 •证明：cos3 4cos 3cos【跟踪练习】1 •已知sin( ) 3，求cos( )的值.2 •若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值.23•已知sin()1，sin()2，求芽的值.3 5 612•若sin22，求tan的值.三角求值与解三角形专项训练2.解三角形A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C② cos2A cos2B A B .7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等② 知两个条件，求某个特定元素或范围；③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.【典型例题】1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状.2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2b 2 2 2 2accosB .变形： bc a a ccosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC3 .余弦定理: 1 •三角形边角关系：在 △ ABC 中,②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角2 .正弦定理:a b csin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）.2Rsi nC 14 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 25.与三角形有关的三角方程：① si n2Abcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ;6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .2 .在厶 ABC 中，证明：a b AB sinA sinB cosA cosB .6.在△ ABC 中，c V3, C —3'(I)求厶ABC 面积的最大值；(II) 求厶ABC 周长的取值范围.3.在△ ABC 中，a 1, A.3，求角C 的大小.4.在△ ABC 中，C2A , c 12a ，求角A 的大小.5 .在△ ABC 中,a 3cosAc si nC求角 A 的大小.跟踪练习】(c b)(sin C sin B)，求角C .ABC 中，a (sin A sin B)2 在ABC 中，a2 c2 b2 ac(I) 求的大小；(II) 求cos A cosC 的最大值3 •在ABC 中，b2 c2 a23bc, B(I) 求BC边上的中线AD的长；(II) 求BAC的角平分线AE的长•参考答案1 .证明：如图，在单位圆中，记xOP ,xOQ=2，有P(x, y),Q(y, x),则sin(2)x，而cos x ,••• si n(2)cos .2 .解法一: -(0,二),tan22，有sin代入sin22 2cos 1 得cos1 冲，贝U三角公式【典型例题】2cos5 . 2 5又sin0,有sin3.5coscos5 .3 .解： 由 sin() 1 , sin( )1,sin coscos sin1得1，则 sin cos3 .,cos sin1 sin cos cos sin—442sin cos二 sin cos3 ；5 5解法 （。

，2），tan 二(sin cos )2 1 2si ncos2sin 2~sin cos 2 cos2 tantan 2解：••• cos15o cos(45o 30o )cos45o cos30o sin 45o sin 30otan 15ota n(45° 0、30 )tan 45o ••• cos15o tan 15o 5.证明：cos3 tan 30°1 ta n45°gta n30°.3.cos( 2 cos cos2 sin si n2 cos (2cos 2 1) 2cos sin 2 2cos 3 cos2cos (1cos 2 )4cos 33costan tancos sin cos cos sin3.【跟踪练习】 1.解：•••( )( ),且 sin() 3 ,63 2 3 5 •- cos(6) cos[- 2( 3)]si n(3)3 52 .解：由 sin 21-得 2sin2cos1，即s 2ncos2cos 14 2sintan1 即 tan2 4ta n10，解得 tan23 (2)tan1 4由cos得 cos(2 k2)，即 sin5亦iin55由sin2得 si n(2 k22. e)，即 cos52、"5 cos52「5 5又 AB (0,)，有 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B 或 A B -，2••• △ ABC 是等腰三角形或直角三角形 •2.证明：a b A B ，由 a b 及正弦定理得 2RsinA 2Rsin B sinA sinB , 而函数f(x) cosx 在(0,)上单调递减，有0 B Af(B) f (A),•- A B cosA cos , • a b A Bsi nA sinB cosA cosB .3 .解：由正弦定理得——，得si nB bsin A ,3 --3 . sin A sin Ba 22因为b ,3 a 1，所以B A ，故B —或 .3 3当 B 和寸，C (A B) H -)-.36 32二 2sin cos4*5 5解三角形 【典型例题】1.解：由 acosAbcosB 及正弦定理得sin AcosA sinBcosB ，即 sin2 Asin2 B ，时,•••角C 为一或一•2 64 .解：T c ..2a , •由正弦定理有 si n C= ... 2 si nA. 又 C=2A , 即卩 sin2 A = 2 sin 代于是 2sinA cos A = . 2 sin A ,■5在厶 ABC 中, sin A M 0,于是 cos A =, • A =—.24从而 si nA 、、3COS A , tan A 3 ,••• 0 A , • A .36•解：（I ） T c .3,C，由余弦定理得（、一3）2 a 2 b 2 2abcos-,33二3 a 2 b 2 ab 2ab ab ab ，仅当ab 时等号成立，二△ ABC 的面积 S 1absinC —absin33①^3,2 2344•••当a b -3时，△ ABC 面积的最大值为3-3 ；4(II)由⑴ 得 3 a 2 b 2 ab ，即 3 (a b)2 3ab ,1 2a b 22r~• ab (a b) 1()，则(a b) 12，即 a b 2、3，仅当 a32•- △ ABC 的周长a b c 2、. 3 33、. 3，仅当a b .3时等号成立，而 a b c 、、3，故 a b c 2 J 3 ,• △ ABC 周长的取值范围是（2 3,3 . 3]. 【跟踪练习】1 .解：由已知以及正弦定理，得a abc b c b ，即a 2 b 2 c 25.解：由条件结合正弦定理得,ac a3cosA sinC sin Ab 时等号成立ab .2 . 2 2a b c2ab 1，又C 0一所以C n3)，2 2 22•解：（I ）由已知得：cosB a c一—2ac(II) 由（I ）知：A C3，故A3C,0C所以 cos A cosCcos( C) cosC sinC323 cosC 2•. 3sin(CQ0 3，23 sin(C )1 ,cos A 32cosC3•解：（I ） 由 b 2 c 2 a 2 \ 3bc 及余弦定理得 cos A b 22 2c a 2bc又 A (0, ），二 A 6，则C而 b 2、3，由一 sin A b sinB c a 得 _ sinC sinsin — 6 2.3 sin —3 —，即sin —6c 2.AD 是BC 边上的中线, uuu 则 AD 1 uuu uuu (AB AC),• AD 2 】(c 2 b 22bccos —) 4 6 uuur 7，有|AD | 即BC 边上的中线长为.7 ； (II)由(I) 得 c 2,b 2 .3，A BAC 的平分线,由 ABE ••• 2(.3 ，又AE 是 6 1 1 S A CAE S A ABC 得 cgAEsin bgAEsin bcsin , 2 12 2 12 2 6 1)sin gAE 2 3，即(、3 12 i 12 2 1)sin gAE 3， 12 又 sin -12sin (--)仝丄丄 3 4 2 22 _2.6 一22 4，• AE .6，即BAC 的角平分线AE三角函数的图象与性质【通俗原理】y cosx(1) 奇偶性：偶函数，图象关于y 轴对称;(2) 对称性：关于(k ,0)中心对称，2关于x k 轴对称；(k Z ，下同) (3) 周期性：周期为T 2 ； (4) 单调性：在［2k ,2 k ］上递减，在［2 k ,2 k 2 ］上递增； (5) 最值性：当x 2k 时，y max 1，当X 2k时，Ymax1 ；y sin x(1)奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称； (2)对称性： 关于(k ,0)中心对称，关于x k2•轴对称；( k Z ，下同) (3)周期性： 周期为T 2 ；⑷单调性： 在[2 k —,2 k —]上递22增，在［2k-,2k 2—］上递减；2 (5)最值性： 当x 2k :时，Y max 1，2当x 2k—时 2时，ymax1；1 •三个基本三角函数的图象与性质(6) 有界性：当x R 时，sinx ［ 1,1］.y tanx y xy sin x(1) 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；k(2) 对称性：关于(，0)中心对称，不是2轴对称图形；(k Z ，下同) (3) 周期性：周期为T ；⑷单调性：在(k ,k )上递增.2 2(1)切线：曲线y sinx 在x 0处的切线 为y x ，曲线y tanx 在x 0处的切 线也为y x ； ⑵不等式：当x (0,)时，2sin x x tanx ，2 •函数图象平移与伸缩变换(1)左右平移：y f (x)向右平移a 个单位 y f (x a)； ►同理有如下结果：⑵ 上下平移：y f(x)向上平移b 个单位y b f (x)，即y f(x) b ；说明：①当a 0时，y f (x)向右平移a 个单位得y f (x a)，当a 0时，y f (x)向 左平移|a|个单位得y f (xa)；②当b 0时，y f (x)向上平移b 个单位得y b f (x), 即y f(x) b ，当b 0时，y f (x)向下平移|b|个单位得y b f(x)，即y f(x) b .1⑶ 横向伸缩：yf (x)横向(x)伸长到原来的 A 倍y f ( x)；A1⑷纵向伸缩：yf(x )纵向(y)伸长到原来的B 倍-y f(x)，即y Bf(x).说明：当A 1时，表示伸长，当0 A 1时，表示缩短；当 B 1时，表示伸长，当0 B 1 时，表示缩短•【典型例题】1 •已知函数 f(x) sin(2x -).3(1) 求f (x)的对称轴及对称中心;y tanx当 x ( 2,0)时，tanxx sin x ，(2) 求f (x)的单调递增区间及在［0,］上的单调递增区间；⑶求f(x)在［2,0］上的最大值与最小值，并求出相应的X的值.13 .把函数f(x) si nx的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数g(x) 2cos-x 1的图3象【跟踪练习】1 .函数y | tan2 x |的对称轴是2 .已知a 0, 0,函数f(x) sin (x )，把y f (x)的图象向右平移a个单位得到一个偶函数y g(x)的图象，把y f (x)的图象向左平移a个单位得到一个奇函数y h(x)的图象，当| |取得最小值时，求y f(x)在［0,2 ］上的单调递减区间44三角函数的图象与性质 【典型例题】当x [0,]时，2x-由32x3 2或2(3)由x [ 2,0]得2x•- sin( A)2同理 cosB si nC , cosC si nA ,• sin A sinB sinC cosA cosB cosC .3.解：方法一(先平移再伸缩)：f(x) sinx cos (―23 .若把函数f(x) x 22x的图象向左平移1个单位，再把横坐标缩短为原来的1 一—倍(纵坐标2不变)得到函数y g(x)的图象，求函数 y g(x)的解析式.1 •解：⑴ 由2x3f (x)的对称轴为12’，即f(x)的对称轴为吟6,0)，(2)由 2k 2x 2k ••• f(x)的单调递增区间为[k12•当 2x - 3 ，即x30 时，f(X )maxf (0)si n— 3f(sin(2 .证明：锐角 △ ABC中,又函数f (x) sin x 在(0,—)上单调递增，有f (— A)f(B),把x a 代换x 得，y cos(x a -)，把丄x 代换x 得2 Ay x a 2)，与y1COS — x 3x12• f(x)在［0,］上的单调递增区间是[0MU[祛；sin B cosA sin B ,x) cos(x2，即把f(x) si nx 的图象向左平移 —个单位，再将横坐标A 321 1移个单位得y COS-X 的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得y 2COS —X 的图象,233、 1后向上平移1个单位得g(x) 2cos —x 1的图象. 3，即y | tan2 x |的对称轴是x —， k Z .44)为偶函数， )为奇函数，a (2 k 2) k 2 2伸长到原来的3倍得y 后向上平移1个单位得1cos — X 的图象,3 g(x) 2cos1x 再将纵坐标伸长到原来的 2倍得y 2cos- x 的图象,3方法二(先伸缩再平移)：f(x) sinx cos( x) cos(x )，2 2把丄X 代换x 得y A x2)， y cos[- (x a)A1 1x a )，与y COF x 对比得 A 2 31 1 A 3A 3 • ，即把1 caa 0A 22再将x a 代换x 得f (x) sin x 的图象横坐标伸长到原来的3倍，再向左平a 0对比得2， 丄 1kk1- xk Z .解: 由2x得x422 •解：可得 g(x)f(x a) sin (x ah(x)f(x a) sin (x a(2k 1 1) 2，则0，当 k 1 k 20时，||取得最小值一，这时4；，即f(x) s "(x；)，【跟踪练习】由x [0,2 ]得x4[4 盲]，由2x44在［0,2 ］上的单调递减区间是［——，］. 4 42x 的图象向左平移1个单位得y (x 1)2)得 y (2x 1)222x 1 4x 2 4x 22x1^2x 1 / 2 1 . 二 f(x) sin(x ) 4 3•解：把 f(x) x 2 1 来的一倍(纵坐标不变 2 2 g(x) 4x 4x x 1 2 ，再把横坐标缩短为原 1，。