函数的单调性一、教学内容解析及学情分析从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从观察图象,用自然语言描述函数图象特征,以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.二、教学目标按照教学大纲的要求,根据教材和学情,确定如下教学目标:1.知识与技能目标:①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;②掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法;2.过程与方法目标:①通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法;②通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;3.情感、态度与价值观目标:①充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思,促进学生形成研究氛围和合作意识.②重视知识的形成过程教学,培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯让学生知其然并知其所以然,通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与收获的乐趣.三、教学重、难点教学重点:增(减)函数概念的形成;教学难点:①形成增(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达;②用定义证明函数的单调性.四、教法、学法教法:根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力.同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的使用,增强动感和直观性,充分发挥其快捷、生动、形象的特点,有助于学生对问题的理解和认识,提高教学效果和教学质量;学法:合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法.五、教具准备实物展示台、几何画板、多媒体.六、教学过程:(一)问题情境:在2016年8月10号的里约奥运会上,由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合获得10米台跳水冠军,展示跳水动图,问题1:跳水运动员的运动轨迹是什么?问题2:从左向右看,图象的变化趋势是什么?函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性.设计意图:把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入,增强学生的民族自豪感,另外根据运动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这节课,让学生感受数学来自生活.(二)建构定义:1. 概念探究阶段第一次认识:(图形语言)观察函数2x y =的图象,思考1:从左向右看函数在区间()∞+,0上的图象有怎样的变化趋势?(上升?下降?)思考2:怎样描述图象的上升呢?第二次认识:(文字语言)教师几何画板展示,点A 在()∞+,0上向上运动时,A 点坐标的变化.让学生观察到,函数2x y =在区间()∞+,0上,随着自变量x 的增大,函数值y 也增大.这是我们从形的角度观察到的,那么怎样用符号和式子描述函数值y 随着自变量x 的增大而增大呢?第三次认识:(符号语言)首先:将两个“增大”符号化,比较才能出大小,在区间()∞+,0上的1x ,2x ,即当12x x <时,)()(21x f x f <.在区间D 上的1x ,2x ,即当12x x <时,)()(21x f x f <.此时一定能保证在区间D 上的图象是上升的吗?图象可能会出现哪些情况?需要添加什么条件使得在区间D 上的图象是上升的?所以,进一步完善表达:对于区间()∞+,0上的任意的两个自变量的值21,x x ,当12x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数2)(x x f =在区间()∞+,0上是增函数. 设计意图:通过由图象直观感知 自然语言描述 数学符号语言描述,即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程,学生能够更好的感受数学知识的生成过程.通过一系列的问题逐步引导学生发现1x ,2x 的任意性,让学生体会数学的严谨性.2. 本着从特殊到一般的原则,对于一般函数,我们来定义增函数: 设函数)(x f 的定义域为I ,I D ⊆,任意D x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数.3.对比增函数的定义,由学生归纳出减函数的定义.设函数)(x f 的定义域为I ,I D ⊆,任意D x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数.即减函数图象在区间D 内呈下降趋势,当x 的值增大时,函数值y 减小. 设计意图:得出减函数定义,培养学生的类比能力.4.对定义的理解:(1)21,x x 的任意性;教师几何画板展示,帮助学生从运动变化的观点理解21,x x 的任意性.(2)对21x x <的理解:此时)(1x f 与)(2x f 不等,说明变量不同,函数值不同,所以我们不在一点出讨论函数的单调性,当端点在定义域的范围内,区间可开可闭,当端点不在定义域的范围内,区间是开区间.(3)分析定义中自变量与因变量的变化关系,当21x x ≠时,()()()()02121>--x f x f x x 说明了什么?设计意图:定义是数学的核心,通过教师带领学生理解定义,可以提高学生的认识和理解.5.函数的单调性定义如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或者减函数,那么就说函数)(x f y =在区间D 上具有单调性,函数的单调性也叫函数的增减性;增函数与减函数也分别叫做单调递增函数,单调递减函数;区间D 叫做函数)(x f y =的单调区间.所以,函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.探究:函数xy 1=在定义域上的单调性是怎样的? 设计意图:再次让学生体会和理解函数单调性的定义,多个单调增(减)区间用“,”“和”连接,不用“∪”.类型一:根据函数图象写出函数的单调区间例1.下图是定义在[-5,5]上的函数)(x f y =的图象,根据图象说出函数)(x f y =的单调区间,以及在每一单调区间上,)(x f y =是增函数还是减函数。
解:)(x f y =的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中)(x f y =在[-5,-2),[1,3)上是减函数;在[-2,1), [3,5)上是增函数.变式1:变式2:变式3:设计意图:通过例1和变式,学生知道可以借助函数图象找出函数的单调区间,并加深对函数单调性概念的理解.类型二:根据函数的单调性定义证明函数的单调性.例2.用函数的单调性定义证明:函数)0(>=k x k y 在区间()∞+,0上是减函数.证明:设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数,且21x x <,则21122121)()()(x x x x k x k x k x f x f -=-=- 210x x <<,得,021>x x 012>-x x ,由0>k于是)()(21x f x f ->0,即)()(21x f x f >所以,函数)0(>=k xk y 在()∞+,0上是减函数。
说明:这两道例题介绍了(1)判断函数单调性的两种方法:根据图像观察,根据定义证明;(2)证明函数单调性的步骤:① 取值,设任意21x x 、属于给定区间,并规定大小;○2 作差变形)()(21x f x f -,变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等;○3定号确定)()(21x f x f -的正负号; ④下结论:由定义得出函数的单调性.即时练习:利用定义证明函数xx y 1+=在()10,上是减函数. (四)、课堂练习:1.讨论以下函数的单调性:(1)b kx y +=(2))0(2≠++=a c bx ax y)0(3≠=k x k y )( 设计意图:让学生体会到有的函数可能在整个定义域上单调,有的函数在定义域的某个区间上单调,函数的单调性是函数的局部性质.3. 利用定义证明函数x y =在()∞+,0上是增函数.(五)、小结1.判定函数单调性的方法:图象法,定义法;2.定义法步骤:取值,作差变形,定号,下结论;3.增(减)函数概念的形成,经历了哪些过程?4.凭借直观的图象,我们能判断函数的单调性,为什么还要用数学符号语言定义增(减)函数呢?在数学中,描述事物运动变化规律的数学模型是——函数,要把握相应事物的变化规律,就需要了解函数的变化规律,通过今天的学习,我们知道函数的变化规律可以用什么来描述呢?(函数的单调性以及函数的其它性质),所以,实际生活中,我们可以用它来分析事物的变化规律.(展示气温变化曲线图,股票走势图,GDP 走势图)设计意图:让学生体会数学在生活中有着广泛应用.(六)、课后作业:一、必做题:课本:39P A 组1,2;课时九;二、选做题:1.求函数xx y 1+=的单调区间,并用定义证明. 2.已知函数)(x f y =是定义在区间[]1,1-上的增函数,且)1()2(x f x f -<-,求x 的取值范围.3.已知函数22)(2+-=ax x x f 在区间(]6,∞-上是增函数,求实数a 的取值范围.。