海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科） 2019.5
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则A
B = (A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6]
(2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为
(A) 12- (B) 12
(C) -2 (D)2
(3，若直线l ：12x t y at =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是 (A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2
(4)在5
(2)x -的展开式中，2x 的系数是 (A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40
(5)把函数2x
y =的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为23x
y =，则t 的值为
(A) 12 ( B) 2log 3 (C) 3log 2 (D)
(6)学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（
4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π
）”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P 与1,A C 不重合）．则下面结论中错误的是
(A)存在点P ，使得平面1A DP ∥平面11B CD
(B)存在点P ，使得1AC ⊥平面1A DP
(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ，平面11BB C C 上
的正投影图形的面积，对任意点P ，12S S ≠
(D)对任意点P ，△1A DP 的面积都不等于
6
第二部分（非选择题共1 10分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为 ( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =
( 11)若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为 (12)已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为
(13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则AE AF =
(14)已知集合{}
001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n
n A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数
()y f x =具有性质“ ”． (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；
(Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22
y x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
( 15)（本小题满分13分）
在ABC ∆中，7,8,3a b A π
===．
(Ⅰ)求sin B 的值；
(Ⅱ)若ABC ∆是钝角三角形，求BC 边上的高．
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐
连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)
规定每日底薪50元，快递业务每完成一单
提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，
快递业务的前44单没有提成，从第45单
开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店
记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取
100天的数据，将样本数据分为[ 25，35），
[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
(Ⅱ)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
(Ⅱ)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为13，
选择方案(2)的概率 为23
．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独 立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率；
(Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
( 17)（本小题满分14分）
如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足
为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，
使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点。
(Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG ∥平面1D EC t
(Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D BE ;
(Ⅲ)是否存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为
3
若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．
已知椭圆22
2
:14x y C b +=的左顶点 A 与上顶点B ． (Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；
(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．
(19)（本小题满分14分）
已知函数22()(),ax a f x e x a
+=-，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角；
(Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．
( 20)（本小题满分13分）
对于给定的奇数,(3)m m ≥ ，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.
对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2
m j <同时成立，则称数对(,)i j
为数表A 的一个“好位置”
(Ⅱ)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”；
(Ⅱ)当5m =时，若对任意的15i ≤≤ 都有()3c i ≥成立，求数表
A 中的“好位置”个数的最小值；
(Ⅲ)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．。