非齐次线性微分方程通解的证明问题重述如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程（5.21）的基本解组，那么，非齐次线性微分方程(5.28)的满足初值条件的解由下面公式给出（5.29）这里是的朗斯基行列式，是在中的第k 行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30）这里是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为证明考虑n 阶线性微分方程的初值问题12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (),n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=()n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,]n a b t t t t ϕϕϕ-'=∈，，...,0n12k 112[x (),x (),...,x ()]()=x (){}()[x (),x (),...,x ()]tk n k t n W s s s t t f s dsW s s s ϕ=∑⎰12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12x (),x (),...,x ()n s s s 12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()]n W s s s (0,0,...,0,1)T1122()()()...()()n n u t c x t c x t c x t t ϕ=++++12,,...,nc c c 1122()()...()()n n x c x t c x t c x t t ϕ=++++（5.6）其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：（5.7）其中事实上，令这时而且现在假设）（t ψ是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知）（）（）（t ,...,t ,t n ψψψ'在上存在、连续、满足方程（5.6）且令()111112()...()()(),(),(),...,(),n n n n n o o o n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤0[,]a b t ∈12,,...,nηηη12100100000100,00010()()()()()(),n n n x x a t a t a t a t f t x t η--⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪'⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦⎪=⎪⎩111222,,n n n x x x x x x x x ηηηη'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)123,,,...,,n n x x x x x x x x -''''====(1)12231()1121,,...,,()()...()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x a t x a t x a t x f t ---''''''======'==-----+10012002(1)00()(),()(),...,()()n n nx t x t x t x t x t x t ηηη-'======0ta tb ≤≤a t b ≤≤(1)01020(),(),...,(),n n t t t ψηψηψη-'===12()()(),()n t t t t ϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中那么，显然有，此外，我们还得到在此处键入公式。
这就表示这个特定的向量）（t ϕ是（5.7）的解，反之，假设向量u （t ）是在包含0t 的区间上（5.7）的解，令,)()()(t u 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t u t u t u n ）（并定义函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，(1)12()(),()(),...,()()(),n n t t t t t t a t b ϕψϕψϕψ-'===≤≤0()t ϕη=12()()()()()()()()n n t t t t t t t ψϕψϕϕϕψ''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦23(1)1()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕψψ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦2311()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦121210100()0010()0001()()()()()n nn n t t t a t a t a t a t ϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎣⎦00,0()f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a t b ≤≤1()()t u t ω=12()()()t u t u t ω''==由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n 个方程得到由此即得同时，我们也得到这就是说，是（5.6）的一个解总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是，每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。
本段讨论非齐次线性微分方程组（5.14）的解的结构问题，这里是区间上已知nxn 连续矩阵，是区间上的已知的n 维连续列向量，向量通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，就代表外力。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质性质1 如果是（5.14）的解，是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则是（5.14）的解性质2 如果和是（5.14）的两个解，则是（5.15）的解 下面的定理7给出（5.14）的解的结构定理7 设是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解都可表为（5.23）23()()(),...,t u t u t ω''''==(1)1()()(),n nn t u t u t ω--'==()112211n-1n-212()()()()()()...()()()()()()()()()...()()()n nn n n n n t u t a t u t a t u t a t u t a t u t f t a t t a t t a t t f t ωωωω--'==-----+=----+（）（）()n-1n-212()()()()()...()()()n n t a t t a t t a t t f t ωωωω++++=（）（）(1)1010()(),...,()()n o o n nt u t t u t ωηωη-====()t ωx ()()A t x f t '=+()A t a t b ≤≤()f t a t b ≤≤()f t ()f t ()t ϕ()t ψ()()t t ϕψ+()t ϕ()t ϕ()()t t ϕϕ-()t Φ()t ϕ()t ϕ()()()t t c t ϕϕ=Φ+这里c 是确定的常数列向量证明 由性质2我们知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到这里c 是确定的常数列向量，由此即得定理证毕定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵的情况下，有一个寻求（5.14）的解的简单方法，这个方法就是常数变易法。
从上一节我们知道，如果c 是常数列向量，则是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c 变易为t 的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如（5.24） 的解，这里是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到因为是（5.15）的基解矩阵，所以，由此上式中含有的项消去了，因而必须满足关系式 （5.25）因为在区间上是非奇异的，所以存在，用左乘（5.25）两边，然后积分之，得到其中=0，这样，（5.24）变为（5.26）因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解，则由公式（5.26）决定。
()()t t ϕϕ-()()()t t t c ϕϕ-=Φ()()()t t c t ϕϕ=Φ+()t Φ()t ϕ()()t t c ϕ=Φ()()t t c ϕ=Φ()c t ()()()()()()()()t c t t c t A t t c t f t ''Φ+Φ=Φ+()t Φ()()()t A t t 'Φ=Φ()()()A t t c t Φ()c t ()()()t c t f t 'Φ=a t b ≤≤()t Φ1()t -Φ1()t -Φ010()()(),,[,]tc t s f s ds a b t t t -=Φ∈⎰0()c t 010()()()(),[,]t t t s f s ds a b t t t ϕ-=ΦΦ+∈⎰()t ϕ()t ϕ反之，用公式（5.26）决定的向量函数必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到再利用公式（5.26），即得显然，还有=0，这样一来，我们就得到了下面的定理8定理8 如果是（5.15）的基解矩阵，则向量函数是（5.14）的解，且满足初值条件由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件的解由下面公式给出 (5.27)这里是（5.15）的满足初值条件的解，公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。