2015届高三浏 攸 醴三校联考理科数学试题时量120分钟 总分150分命题人：攸县一中 谭忠民 审题人：攸县一中 尹光辉 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知，则复数是虚数的充分必要条件是 （ ） A. B. C. D.且2．函数()lg(1)f x x =-的定义域是 （ ） A ．[-1，4] B ． C ．[1，4] D ．3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.34、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.55.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若255(sin ),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则 （ ）A. B. C. D.6 ．由直线, ,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是 （ ） A. B. C. D. 7．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在线段11B C BE AG DF 、、、上. 以为顶点 的三棱锥的俯视图不可能是（ ）8、运行如左下图所示的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是 （ ）1DA.120B.720C.1440D.50409、函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如右上图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f （x ）的递增区间是 （ ） A.[6K-1，6K+2](K ∈Z) B. [6k-4,6k-1] (K ∈Z) C.[3k-1,3k+2] (K ∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K ∈Z)10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则 ( ).A. B.-1 C.2 D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11、已知各项均为正数的等比数列中，则 。
12. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，则= ． 13. 在中，若()ac B b c a ⋅=⋅-+3tan 222，则角B= 。
14、设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 15 、对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P. （1）下列函数中具有性质P 的有 ① ② ③，（2）若函数具有性质P ，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．（本题满分12分）在△ABC 中，已知A=，． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若BC=2，D 为AB 的中点，求CD 的长．17.（本题满分12分） 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（I ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，，是线段上一点，. （Ⅰ）当时，求证：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.19、（本题满分13分）已知椭圆的焦距为， 且过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知，是否存在使得点关于的对称点（不同于点）在椭圆上？若存在求出此时直线的方程，若不存在说明理由.20. （本题满分13分）已知函数()ln ()f x x x mx m R =+∈的图象在点处的切线的斜率为2.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设,讨论的单调性; (Ⅲ)已知且,证明:21.（本题满分13分）已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，例如：123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++⋅++.(Ⅰ)若，数列的前n 项和为S n ，求S 19的值；(Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
①存在数列使得；②如果数列是等差数列，则； ③如果数列是等比数列，则。
浏阳市一中、攸县一中、醴陵一中2015届高三11月联考理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：1―5：CDCAB 6―10：ACBBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、2712、13、14、15、（1） ① ② ，（2）.三、解答题：答案仅供参考。
如有其他解法，请参照此标准酌情给分。
16．（本题满分12分）在△ABC 中，已知A=，． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若BC=2，D 为AB 的中点，求CD 的长． 【解析】（Ⅰ）且，∴55cos 1sin 2=-=B B …2分)43cos()cos(cos B B A C -=--=ππ ……………………………4分 1010552255222sin 43sin cos 43cos -=⋅+⋅-=+=B B ππ ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得10103)1010(1cos 1sin 22=--=-=C C……8分由正弦定理得，即101032252AB =，解得．………10分在中，55252323)52(222⨯⨯⨯-+=CD ，所以…………12分17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（I ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望． 【解析】（I ）、可能的取值为、、，…………………1分，，22(2)()5x x y ξ∴=-+-≤，且当或时，．因此，随机变量的最大值为………………………3分有放回摸两球的所有情况有种………6分（Ⅱ）的所有取值为．时，只有这一种情况． 时，有或或或四种情况， 时，有或两种情况．，，…………………………8分则随机变量的分布列为：………………10分因此，数学期望1422012529999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………………12分18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，，是线段上一点，. （Ⅰ）当时，求证：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.解：（Ⅰ）取中点，连接，………………1分又，所以. 因为，所以,四边形是平行四边形，………………2分 所以因为平面，平面所以平面.………………4分 （Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，………………5分 因为，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ，………6分是平面的一个法向量. 设平面的法向量，则0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即 令，则，所以, 所以1cos ,3||||BC BC BC ⋅<>==n n n ，………………8分故二面角的正弦值为。
………………9分.（Ⅲ）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ⋅=-=-≠，所以与不垂直,……………11分所以不存在点满足平面.………………12分19、（本题满分13分）已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知，是否存在使得点关于的对称点（不同于点）在椭圆上？ 若存在求出此时直线的方程，若不存在说明理由.解：（1）由已知，焦距为2c=…………1分又…………2分点在椭圆上，…………3分故，所求椭圆的方程为……………5分（2）当时，直线，点不在椭圆上；……………7分当时，可设直线131:()22AB y x k=--+，即……………8分代入整理得222(412)4(3)(3)120k y k k y k +-+++-=因为，所以21212224(3)12(3)(3)()3412412k k k x x k ky ky k k k +++=+-+=+-=++ 若关于直线对称，则其中点在直线上……………10分 所以222(3)6(3)1412412k k k k k k ++=-++，解得因为此时点在直线上，……………12分所以对称点与点重合，不合题意所以不存在满足条件.……………13分20. （本题满分13分）已知函数()ln ()f x x x mx m R =+∈的图象在点处的切线的斜率为2.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设,讨论的单调性; (Ⅲ)已知且,证明: 解：（Ⅰ）所以……1分 由题意'(1)1ln12f m =++=,得……3分(Ⅱ)()ln ()(0,1)11f x x x xg x x x x x -==>≠--，所以……4分 设,1()1ln ,()1.h x x x h x x=--=-当时，，是增函数，，所以'21ln ()0(1)x xg x x --=>-，故在上为增函数； ……………5分 当时，，是减函数，， 所以,21ln ()0(1)x xg x x --=>-，故在上为增函数； 所以在区间和都是单调递增的。
……………8分 (Ⅲ)因为，由（Ⅱ）知成立，即，………9分从而，即ln ln ln ln ,n mn m m n ->- ……………12分所以nm>。
……………13分21.（本题满分13分）已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，例如：123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++⋅++.(Ⅰ)若，数列的前n 项和为S n ，求S 19的值；(Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
①存在数列使得；②如果数列是等差数列，则； ③如果数列是等比数列，则。
解析：()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ2sin 222n n n f a n Ⅰ………1分()()+---∈-==+++∴N k k a a a a k k k k ,4224142434π ………3分 []2220195018141062ππ-=⋅++++-==∴S S ………5分（Ⅱ）①显然是对的，只需满足……………7分 ②显然是错的，若，……………9分 ③也是对的，理由如下：…………10分首先是奇函数，因此只需考查时的性质，此时都是增函数，从而在上递增，所以在上单调递增。