攸县一中自主招生数学试题
总分：100分 时量：90分钟
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、某商品原价为a 元，春节促销，降价20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（ ）
A 、15%
B 、20%
C 、25%
D 、30%
2、在ABC Rt ∆中，=∠C 900,若AC=2BC 则sinA 的值是( )
A 、2
1
B 、2
C 、55
D 、25
3、当b=1时关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，则a 等于（ ）
A 、2
B 、-2
C 、3
2
-
D 、不存在 4、如图1：在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分AFC ∆的面积为（ ）
A 、12
B 、10
C 、
5、如图2：正比例函数y=kx （k>0）与反比例函数x
y 1
=
的图象相交于A ，C 两点，过A 作轴x AB ⊥于B ，连接BC ，则AB C ∆的面积为S 为（ ） A 、S=1 B 、S=2 C 、S=3 D 、S 的值不能确定
6、若一次函数y=（m+1）x+m 的图像过第一、三、四象限，则函数y=mx 2-mx （ ） A 、有最大值
4m B 、有最小值 4m C 、有最大值-4m D 、有最小值-4
m
7、已知实数a 满足|2013-a|+2014-a =a ，那么a-20132的值是（ ） A 、2011 B 、2012 C 、2013 D 、2014
A 1
图2
图
8、若ab ≠1且有5a 2+2013a+9=0及9b 2
+2013b+5=0则
b
a
的值是（ ） A 、59 B 、95 C 、52013- D 、9
2013-
二. 填空题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
9、当x=-1时，代数式2ax 3-3bx+8的值为18，则代数式9b-6a+2的值为 10、已知x=31+，那么= 21
41212--
-++x x x
11、已知不等式3x-a 0≤的正整数解恰是1,2,3则a 的取值范围是 12、方程x 2-5|x|-6=0的各根之和为
13、若41
=+a a （0<a<1）,则=-
a
a 1
14、如图3：有一个长方体的长BC=4，宽AB=3，高BB 1=5，一只小虫由A 处出发，沿着长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度为
15、如图4，AM 为圆O 的切线，A 为切点，AM BD ⊥于点D ，BD 交圆O 于点C ，OC 平分AOB ∠，则=∠B 16、已知|ab-2|与（b-1）
2
互为相反数，则代数式
=+++•••+++++++)
2013)(2013(1)2)(2(1)1)(1(11b a b a b a ab
17、已知二次函数y=ax 2+bx+c （0≠a ）其中a ，b ，c 满足a+b+c=0,9a-3b+c=0则该二次函数图象的对称轴是
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C 1
D 3
图4
图
三、解答题：（本大题共5小题，共49分）
18、（本小题9分）若关于x 的方程x
kx x x x x k 1
122+=
---只有一个解（相等的解算作一个），试求k 的值与方程的解。
19、（本小题9分）、已知不等式3
2537213x
x x +-
≥--，且|x-3|-|x+2|的最大值为P ，最小值为q ，试求P ，q 的值。
20、（本小题9分）设梯形ABCD 中，AB=CD=5cm ，AD=8cm ，BC=14cm ，E 为AD 上的定点，AE=4cm ，动点P 从D 点 出发，沿着梯形的周界依次经过C 、B ，最后到达A 点，设P 点走过的距离为x ，APE ∆的面积为y ；（1）、把y 表示为x 的函数；（2）、当P 点以每秒3cm 的速度运动时，求P 点出发经过几秒后，APE ∆的面积大于6cm 2
B
21、（本小题10分）如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E ，F 分别是边AD 、CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2（1）、判断BEF ∆的形状，并说明理由。
（2）、设BEF ∆的面积为S ，求S 的取值范围。
22、（本小题12分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（1,1），直线y=kx+m
的图象与该二次函数的图象交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()4
13
,25,B 点在y
轴上，直线与x 轴的交点为F ，P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点。
（1）、求k ，m 的值，及这个二次函数的解析式；（2）、设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）、D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在点P ，使得以点P 、E 、D 为顶点的三角形与BOF ∆相似？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由。
6图
A 5
图
攸县一中自主招生
数学试题答案
一、选择题（3分×8=24分）
9、_____32_______ 10、__2
3
-________ 11、_912<≤a ____
12、___0_______ 13、_____2-_____ 14
15、 600 16、
2015
2014
17、 x=-1
三、解答题：
18、当K=0时，有唯一解x=21 （2分）
当K 0≠时，有K=2
1，x=-2 （9分）
19、依题意解得：x 1≥ （4分） 由绝对值的意义可知：最大值P=-1，最小值q =-5 （9分）
20、（1）、当50≤≤x 时，y=x 5
8
当195≤≤x 时，y=8
当2419≤≤x 时，y=)24(5
8
x - （6分）
（2）、从出发后第秒秒到第4
27
45钟 ，满足题意。
（9分）
21、（1）、BEF ∆为等边三角形 证明略； （5分）
（2）、设BE=x ，则S=
x 4
3
，（2x 3≤≤） 34
3
3≤≤S （5分）
22、（1）、K=
21
，m=2，y=x 2-2x+2 （3分） （2）、h=-x 2+25x （02
5
<<x ） （4分）
（3）、当090=∠=∠BOF PED 时，BOF PED ∆∆~由
FO
DE
BO PE =
解得：25262<+=
x ，2
6
2-=x （舍）。
存在P 点的坐标)4610,262(++ 当090=∠=∠BOF PDE 时，过E 点作EK 垂直于抛物线的对称轴。
则
EKD PDE ∆∆~，BOF PDE ∆∆~得：存在P 点的坐标），（
4
10
8,210P +
综上知：存在P 点的坐标P （），（和4
10
8210P )4610,262(+++ （12分）。