（B）1
（C）2
（D）3
【解析】由于 AX 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 R( A) 2可得R( A) 2 3，
故R( A*) 0.
（8）设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2E ,且| A | 4 ,则二次型 xT Ax
的规范形为
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
数学二（3）
2
(9)
lim
x0
(x

2
x
)
x

______
.
【答案】 4e2
2
【解析】 lim( x 2x ) x
lim 2( x2x 1)
ex0
x
2 lim ( x 2x 1)
e x0 x x

y '(t) x '(t)
t 3 2
sin t 1 cos t
t 3 2
1
则曲线在 t 3 对应点处的切线方程为 y 1 (x 3 1)
2
2
令x 0得 y 3 2 2
(11)设函数 f (u) 可导， z yf ( y2 ) ，则 2x z y z =__________.
lim
xa
f
(x) g(x) (x a)2

0 的（
）
（A）充分非必要条件
（B）充分必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件
【答案】（C）
【解析】因 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2

0 ，则
数学二（2）
[ f (a) g(a)] f (a) g (a) (x a) 1 f (a) g (a) (x a) 2
(a) g (a) 0，f (a)
=
g (a)
，但无法肯定 lim xa
f (x) g(x) (x a)2
0.
综上，选（C）.
（7）设 A 是四阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax 0 的基础解系中只有 2 个
向量，则 A* 的秩是（ ）
（A）0 【答案】（A）
lim
xa
2 (x a)2
0 ，故
f (a) g(a) 0

f
(a)

g(a)

0
f (a) g(a) 0
由此可得 f (x), g(x) 在 a 点相切且曲率相等。反之，由 f (x), g(x) 在 a 点相切且曲率相等可
得
f (a) g(a) 0，f
2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，若 x tan x与xk 是同阶无穷小，则 k
（A）1.
（B）2.
xexdx
xdex
xex

exdx 1,收敛. .
0
0
0
0
数学二（1）
（B） xex2 dx 1 ex2 dx2 1 ,收敛.
0
20
2
（C）
0
arctan 1 x2
xdx

1 2
arctan
x2
2 08
e2(1ln 2)
e42ln 2
4e2
x0
(10)
x t sin t
曲线

y

1

cos
t
在
t

3 2
对应点处切线在
y 轴上的截距_______.
【答案】 y 3
3 2
1, y 1, dy dx
t 3 2
【答案】D 【解析】
由题干分析出1为特征方程r2 ar b 0的二重根,即r 1 2 =0
故a 2,b 1; 又ex为y 2y y cex的解, 代入方程得c 4.
（5） 【答案】
【解析】
（6）已知 f (x), g(x) 二阶可导且在 x a 处连续，则 f (x), g(x) 在 a 点相切且曲率相等是
当 x 时y '' 0;当x 时，y '' 0，故( ,-2)为拐点
（3）下列反常积分发散的是（ ）
（A）
xexdx
0
（B）
xex2 dx
0
（C）
0
arctan 1 x2
xdx
（D）
0
1
x x
2
dx
【答案】（D）
【解析】（A）
，收敛.
（D）
0
1
x x2
dx

1 2
ln(1
x2
)
0

.
发散
综上，故选（D）
（4）已知微分方程 y ay by ce x 的通解为 y (C1 C2x)ex e x, 则 a,b, c 依次为
（） （A）1,0,1 （B）1,0,2 （C）2,1,3 （D）2,1,4
（C）3.
（D）4.
【答案】C
【解析】 x tan x x (x 1 x 3 o(x 3)) ~ 1 x 3, 故 k 3.
3
3
（2）设函数
y

x sin x

2
cos
x


2

x

3 2

的拐点坐标为
（A）

2
,
2

（B） 0, 2 .
（C） , 2
【答案】C
【解析】 y ' sin x x cos x 2sin x x cos x sin x
（D）

3 2
,
3 2

y '' cos x x sin x cos x x sin x
令 y '' 0得x 0或x
（A） y12 y22 y32 . （B） y12 y22 y32 . （C） y12 y22 y32 . （D） y12 y22 y32
【答案】C
【解析】 A2 A 2E ,设 A 的特征值为 2 2 , ( 2)( 1) 0 , 2或1 A 4 , A 的特征值为 1 2 2,3 1 q 2, p 1 X T Ax 的规范形为 y12 y22 y32