2020年中考数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．下列各数中，倒数最小的是（ ）A ．﹣5B ．51- C ．5 D ．152．2020年3月12日，中科院宣布国内学者已经掌握了用“纳米”画笔“绘制”各种需要的芯片，针对于此，厚度仅为0.3nm 的低维材料应运而生. 已知1nm ＝10﹣9m ，则0.3nm 用科学记数法表示为（ ）A ．0.3×10﹣10 mB ．3×10﹣10mC ．0.3×10﹣11mD ．30×10﹣11m3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD，过点O 作OF ⊥OE ，若∠AOC ＝42°，则∠BOF 的度数为（ ）A ．48°B ．52°C ．64°D ．69° 4．下列运算正确的是（ ）A ．426a a a +＝B ．()32826a a --＝C ．65a a -＝D ．325•a a a ＝5．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．关于x 的一元二次方程()()132x x x --=--，下面说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根7．若一组数据4， 9，5，m ，3的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．9，3B ．4，5C ．4，4D ．5，38．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x 个，依据题意可得方程（）A ．480012000480021.5x x --=B ．1200012000480021.5 1.5x x--=C ．120004800480021.5x x --=D ．12000480012000480021.5x x---= 9．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°. 按以下步骤作图：①以C 为圆心，以适当长为半径做弧，交CB 、CD 于M 、N 两点；②分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交BD 于点O,交AD 边于点F ；则BO 的长度为（ ）A. 3B ．173C．254 10．如图1，点P 为△ABC 边上一动点，沿着A →C →B 的路径行进，点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，设AD ＝x ，△APD 的面积为y ，图2是y 关于x 的函数图象，则依据图中的数量关系计算△ACB 的周长为（）A.二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：()10120202π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝ ． 12．不等式组235112x x +≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集为 ． 13．国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是.14．△ABC 为等边三角形，点O 为AB 边上一点，且BO=2A0=4，将△ABC 绕点O 逆时针旋转 60°得△DEF，则图中阴影部分的面积为 ．15．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点E为AC边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为 .三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：2213222x xxx x-+⎛⎫÷--⎪++⎝⎭，请从-2，-1,0,1,中选择一个合适的值代入求值．17．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG,已知AG=EG.（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝°时，四边形ABOF是菱形；②若OC=2DC，当AB＝时，△AGE为等腰直角三角形．18．（9分）某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学”活动，借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间,并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据以上信息回答下列问题（1）本次调查的人数为，学习时间为7小时的所对的圆心角为；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生1800人，估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时.19．（9分）如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿D点的仰角为45°，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54°，点C与篮板下沿点E在同一水平线，若AB=1.91米，篮板高度DE为1.05米，求篮板下沿E点与地面的距离.（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.80， cos54°≈0.60，tan54°≈1.33）20．（9分）为了迎接体育理化加试，九（2）班同学到某体育用品商店采购训练用球，已知购买3个A 品牌足球和2个B 品牌足球需付210元；购买2个A 品牌足球和1个B 品牌足球需付费130元.（优惠措施见海报）（1）求A ，B 两品牌足球的单价各为多少元？（2）为享受优惠，同学们决定购买一次性购买足球60个，若要求A 品牌足球的数量不低于B 品牌足球数量的3倍，请你设计一种付费最少的方案，并说明理由.21．（10分）如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数 y kx b =+与坐标轴交于A 、B 两点，反比例函数m y x=（x ＞0）经过一次函数上一点C （2，a ）. （1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图像； （2）依据图像直接写出当0x >时不等式m kx b x +>的解集； （3）若反比例函数m y x=与一次函数y kx b =+交于C 、D 两点，使用直尺与2B 铅笔构造以C 、D 为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10.22．（10分）．问题发现：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，∠BCD 的度数是 ；线段BD ，AC 之间的数量关系是 ． 类比探究：（2）在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；拓展延伸：（3）如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BDC ＝90°，若点P 满足PB ＝PC ，∠BPC ＝90°，请直接写出线段AP 的长度．23．（11分）已知：如图，直线3y x =--交坐标轴于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =++过A 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA,PC ，试问△PAC 是否存在最大值，若存在，请求出△APC 取最大值以及点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为抛物线上一点，点N 为抛物线对称轴上一点，若△NMC 是以∠NMC 为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M 的坐标.一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．下列各数中，倒数最小的是（ ）A ．﹣5B ．51- C ．5 D ．15B 【解析】﹣5，51-，5，15的倒数依次为：51-，﹣5，15，5； ∵115555-<-<<，∴倒数最小的为51-．故选：B ． 2．2020年3月12日，中科院宣布国内学者已经掌握了用“纳米”画笔“绘制”各种需要的芯片，针对于此，厚度仅为0.3nm 的低维材料应运而生. 已知1nm ＝10﹣9m ，则0.3nm 用科学记数法表示为（ ）A ．0.3×10﹣10 mB ．3×10﹣10mC ．0.3×10﹣11mD ．30×10﹣11mB 【解析】0.3nm 用科学记数法表示为：3×10﹣10m ，故选：B ．3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD，过点O 作OF ⊥OE ，若∠AOC ＝42°，则∠BOF 的度数为（ ）A ．48°B ．52°C ．64°D ．69°D 【解析】∵∠AOC ＝42°，∴∠BOD＝∠AOC ＝42°，∵OE 平分∠BOD，∴∠BOE ＝21°，∵OF ⊥OE ，∴∠BOF ＝90°﹣21°＝69°．故选：D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．426a a a +＝B ．()32826a a --＝C ．65a a -＝D ．325•a a a ＝ D 【解析】A 、4a ，2a 非同类项，无法合并，故此选项不合题意；B 、()322a -＝()3232a ⨯-＝68a -，故此选项不合题意；C 、65a a a -＝，故此选项不合题意；D 、32•a a ＝23a +＝5a ，故此选项符合题意；故选：D ．5．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．D 【解析】依据“长对正、高平齐、宽相等”画如图所示的几何体的三视图为：故选：D ．6．关于x 的一元二次方程()()132x x x --=--，下面说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根D 【解析】将方程()()132x x x --=--化为一般形式为：2350x x -+=，∵△＝9﹣4×1×5＜0，∴该方程没有实数根．故选：D ．7．若一组数据4， 9，5，m ，3的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．9，3B ．4，5C ．4，4D ．5，3C 【解析】∵一组数据4， 9，5，m ，3的平均数是5，∴4+9+5+m+3=5×5，解得：m=4，这组数据按从从小到大排列为：3，4，4，5，9,故则中位数是：4，众数是4．故选：C ．8．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x 个，依据题意可得方程（）A ．480012000480021.5x x--= B ．1200012000480021.5 1.5x x --= C ．120004800480021.5x x --= D ．12000480012000480021.5x x ---= D 【解析】设采用新工艺之前每小时可生产口罩x 个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x 个，根据题意，得方程为：12000480012000480021.5x x---=．故选：D ． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°.按以下步骤作图：①以C 为圆心，以适当长为半径做弧，交CB 、CD 于M 、N 两点；②分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交BD 于点O,交AD 边于点F ；则BO 的长度为（ ）A. 3B ．173C ．254C 【解析】过点D 作DG ⊥BC 的延长线，垂足为G.由做图痕迹可知，CF 为∠BCD 的角平分线，∴∠BCF=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠BCF=∠DFC,∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=4，∵AB∥CD，∴∠DCG=∠ABC=60°，∴CG=CD ·cos60°=2，DG=CD·sin60°=在Rt △BGD 中，BG=5+2=7,DG=， ∵AD ∥BC ，∴54BO BC DO DF ==，∴BO=59故选C. 10．如图1，点P 为△ABC 边上一动点，沿着A →C →B 的路径行进，点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，设AD ＝x ，△APD 的面积为y ，图2是y 关于x 的函数图象，则依据图中的数量关系计算△ACB 的周长为（）A.C 【解析】由图像可知函数图像的拐点处坐标为（4,6）,结合图3可知，当点P 运动到C 点时，y 有最大值6，可知：y=12AD·CD，代入数据得CD=3,在Rt△ADC 中，， 当点D 运动到B点时，函数值为0，故AB=，在Rt△BDC 中，得∠B=60°，由BD=BC ·cos60°，得BC=∴△ABC 的周长为：5+= 故选:C.二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：()10120202π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝ ． -1【解析】原式＝1+（-2）＝-1．故答案为：-1．12．不等式组235112x x +≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集为 ． 31x -<≤【解析】235112x x +≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，解不等式①得1x ≤；解不等式②得3x >-； ∴原不等式组的解是31x -<≤，故答案为：31x -<≤．13．国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是. 13【解析】依据题意，画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰为相反意义的有4种结果， 所以“抽到的汉字恰为相反意义”的概率为P=412=13，故答案为：13． 14．△ABC 为等边三角形，点O 为AB 边上一点，且BO=2A0=4，将△ABC 绕点O 逆时针旋转 60°得△DEF，则图中阴影部分的面积为 ．143π-【解析】连接OC ，OF ，作CG ⊥AB ，OM ⊥BC ，FH ⊥AB 的延长线于点H ． ∵BO=2A0=4，∴AO=2，AB=6，∵CG ⊥AB ，∴BG=AG=12AB=3，CG=BC·sin60°= ， ∴OG=3-2=1，Rt △OGC 中，OG=1，CG=，∴，易证△NEC ，△AOD，△BOE 为等边三角形，四边形AOEF 为等腰梯形，∴AF=OE=4，CE=AO=2，OM=HF=4×sin60°=∵′COF S 扇形= ()26027360π= 143π，OEC S △=AOFS △= 122⨯⨯= AOEF S 梯形= ()262+⨯= , NEC S△= 122⨯∴S 阴影=COF S 扇形+ OEC S △+AOF S △-AOEF S 梯形-NECS △=143π-.故答案为143π-． 15．如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P 为AB 边中点，点E 为AC 边上不与端点重合的一动点，将△ADP 沿着直线PD折叠得△PDE，若DE ⊥AB ，则AD 的长度为 .52-或52+分类讨论如下：①当点E 在直线AC 上方时，如图1，设DM=x. ∵∠A=∠A，∠AMD=∠C，∴△AMD∽△ACB，∴AM:MD=AC:BC=2，∴AM=2x,在Rt △AMD 中，AM=2x,DM=x,∴，∴,∴ME=)x ,在Rt △ACB 中，AC=4，BC=2∴AP=122x∵∠E=∠A，∴tan∠E=MPME =12,12=，解得：x =，；②当点E 在直线AC 上方时，如图2，设DN=y.∵DN=y,同①可得，AN=2y ,∴PN=2y ，EN=)1y ,∵tan∠E=PN NE =12,12=，解得：12y ==52+；故答案为：52-或52+． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：2213222x x x x x -+⎛⎫÷-- ⎪++⎝⎭，请从-2，-1,0,1,中选择一个合适的值代入求值．解：原式= ()221122x x x x --÷++=()()()212211x xx x x-+++-=11xx -+；∵当x取-2，-1，1，原分式无意义，∴x只能取0,当x＝0时，原式=1010-+=1．17．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG,已知AG=EG.（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝°时，四边形ABOF是菱形；②若OC=2DC，当AB＝时，△AGE为等腰直角三角形．证明：（1）如图，连接OA，OF，AF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠GDC=90°，∴∠ACO+∠DEC=90°，∵∠DEC=∠GEA，∴∠GEA+∠ACO=90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO+∠GAE=90°，即∠GAO=90°，∵OA为半径，∴AG为⊙O的切线；（2）答案为：60°；提示如下：①若四边形ABOF为菱形，∴AB=AO，又∵AO=BO，∴△AOB为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=90°-60°=30°，∴∠AEG=∠DEC=90°-30°=60°；②如图所示，若△AGE为等腰直角三角形，∴∠AEG=∠DEC=∠DCE=45°，∴△EDC和△BAC都是等腰三角形，在等腰Rt△BAC中，AO为斜边中线，∴∠AOC=90°，∵∠AOC=∠ODG=∠AGE=90°，∴四边形AODG为矩形，∵OC=2DC，∴OD=DC=AG,AG=故答案为：60°；.18．（9分）某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学”活动，借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间,并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据以上信息回答下列问题（1）本次调查的人数为，学习时间为7小时的所对的圆心角为；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生1800人，估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时.解：（1）50，86.4°，解答如下：本次调查的人数为:20÷40％=50（人），学习时间为9小时的人数为:50×30％=15（人），学习时间为7小时的人数为:50-15-20-3=12（人），所对的圆心角为:360°×1250=86.4°；故答案为：50，86.4°；（2）依据（1）中相关数据，补全频数分布直方图如下：（3）1800×（30％+40％）=1260（人）.答：估计全校有1260在线学习时间不低于8个小时.19．（9分）如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿D点的仰角为45°，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54°，点C与篮板下沿点E在同一水平线，若AB=1.91米，篮板高度DE为1.05米，求篮板下沿E点与地面的距离.（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.60，tan54°≈1.33）解：过D作DF⊥AB的延长线于F，连接CE.在Rt△DEC中，∠DCE=45°，DE=1.05（米），∴CE=DE=1.05（米），∵∠CBF=∠F=∠CEF=90°，∴四边形CBFE为矩形，∴CE=BF=1.05（米），∴AF=AB+BF=2.96（米），在Rt△AFD中，AF=2.96（米），∠DAF=54°，由DF=AF·tan54°得DF≈3.94（米），∴EF=3.94-1.05≈2.9（米）.答：篮板下沿E点沿与地面的距离为2.9米.20．（9分）为了迎接体育理化加试，九（2）班同学到某体育用品商店采购训练用球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球需付210元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球需付费130元.（优惠措施见海报）（1）求A ，B 两品牌足球的单价各为多少元？（2）为享受优惠，同学们决定购买一次性购买足球60个，若要求A 品牌足球的数量不低于B 品牌足球数量的3倍，请你设计一种付费最少的方案，并说明理由.解：（1）设A 品牌足球的单价为x 元，B 品牌足球的单价为y 元，根据题意得：322102130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，答：A 品牌足球的单价为50元，B 品牌足球的单价为30元；（2）设购买A 品牌足球为a 个，则购买B 品牌足球为（60﹣a ）个，根据题意得： ()360a a ≥-，解得45a ≥，故A 品牌足球可享8折，B 品牌足球原价；设购买A ，B 两品牌足球的总费用为W 元，则W ＝0.8×50a+30（60﹣a ）＝10a+1800， ∵k ＝10＞0，∴W 随x 的增大而增大，∴当a ＝45时，花费最少，最少费用为：10×45+1800＝2250（元）．答：购买A 品牌足球45个，B 品牌足球15个花费最少，最少费用为2250元．21．（10分）如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y kx b =+与坐标轴交于A 、B 两点，反比例函数m y x=（x ＞0）经过一次函数上一点C （2，a ）. （1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图像； （2）依据图像直接写出当0x >时不等式m kx b x +>的解集； （3）若反比例函数m y x=与一次函数y kx b =+交于C 、D 两点，使用直尺与2B 铅笔构造以C 、D 为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10.解（1）由图知点A 坐标为（0,4），点B 的坐标为（8,0），一次函数y kx b =+经过A 、B 两点，∴408b k b =⎧⎨=+⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为：142y x =-+， ∵142y x =-+经过点C （2，a ）,∴143a =-+=，∴点C 坐标为（2,3）， ∵反比例函数m y x =经过点C （2，3），∴236m =⨯=，∴反比例函数解析式为：6y x=； （2）描绘出反比例函数m y x=（x ＞0）的图像如下： 依据函数图像可得，当0x >时,不等式m kx b x +>的解集为26x <<； （3）由图像可知点C 的坐标为（2,3），点D 的坐标为（6,1），依据勾股定理可得=已知矩形面积为10的情况下，分类讨论：若以CDCD 为对角线的情况下构造矩形，此时.22．（10分）．问题发现：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，∠BCD 的度数是 ；线段BD ，AC 之间的数量关系是 ．类比探究：（2）在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；拓展延伸：（3）如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BDC ＝90°，若点P 满足PB ＝PC ，∠BPC ＝90°，请直接写出线段AP 的长度．解：（1）如图3，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，设BC=m.在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，由BC=AB ·tan30°，BC=AC ·sin30°，得m ， ∵AC=AD ，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m ， ∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt △DEC 中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m ，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE ·，∴在Rt △BED 中，，∴BD AC故AC.故答案为：120°；AC. （2）不成立，理由如下：设BC=n ，在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m ，n ，∵AC=AD ，∠CAD=90°，∴△CAD 为等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，AC= 2n ，∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt △BCD 中，，∴BDAC 2，,故BD=2AC.答案为：90°；BD=2AC.故结论不成立.（3）AP 或；解答如下：∵PB=PC ，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A 、B 、C 、P 四点共圆，以线段BC 的中点为圆心构造⊙O ，如图4，图5，分类讨论如下：①当点P 在直线BC 上方时，如图4，作PM ⊥AC ，垂足为M ，设PM=x.∵PB=PC ，∠BPC=90°，∴△PBC 为等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP 为等腰直角三角形，∴AM=PM=x，x ，在Rt △ABC 中，AB=2,AC=4在Rt △PMC 中，∵∠PMC=90°，PM=x ，CM=4-x ，∴()2224x x +-=，解得：11x =，23x =（舍）②当点P 在直线BC 的下方时，如图5，作PN ⊥AB 的延长线，垂足为N ，设PN=y.同上可得为等腰三角形，∴AN=PN=y ，∴BN=y -2，在R t△PNB 中，∵∠PNB=90°，PN=y ，()2222y y +-=，解得：13y =，21y =-（舍）=故AP 或23．（11分）已知：如图，直线3y x =--交坐标轴于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =++过A 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA,PC ，试问△PAC 是否存在最大值，若存在，请求出△APC 取最大值以及点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为抛物线上一点，点N 为抛物线对称轴上一点，若△NMC 是以∠NMC 为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M 的坐标.解：（1）3y x =--交x 轴于A （-3,0），交y 轴于C （0，-3），∵抛物线2y x bx c =++经过点A （-3,0），点C （0，-3）， ∴3093c b c =-⎧⎨=-+⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =+-； （2）△APC 的面积存在最大值为，此时点P 的坐标为：；解答如下：过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，直线PQ ，AC 交于点P ，设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点D 的坐标为（m ，3m --），∴线段PD 的长为：（3m --）-（223m m +-）=23m m -+， ∵12PAD S PD AQ =△,12PCD S PD OQ =△, ∴PAC S △=PAD PCD S S +△△=1122PD AQ PD OQ +=12PD AO =23327228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∵302a =-<，∴当32m =时候，△PAC 的面积又最大值，最大值为278， 此时点P 的坐标为（32-，154-）；（3）点M 的坐标为322⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，或522⎛--- ⎝⎭，..提示如下： ①如图3，当点M 在对称轴左侧时，构造矩形EFCG ，设点M 的坐标为（n ，223n n +-）， 易证△MEN≌△CFM，得抛物线223y x x =+-的对称轴为直线x=-1，则MF=()()2233n n +---=22n n +，NE=1n --，∵MF=NE ，∴221n n n +=--，解得1n =（舍），2n =，故点M 的坐标为⎝⎭； ②当点M 在对称轴的右侧时，过点M 作EF ∥x 轴，分别交对称轴与y 轴于点E 和点F. 设点M 的坐标为（k ，223k k +-），易证△MEN≌△MFC，抛物线对称轴为直线x=-1， 则ME=()1k --=1k +，CF=()()2323k k --+-= 22k k --，∵ME=CF ，∴221k k k --=+，解得：132k --=（舍），2k =故的点M 的坐标为522⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，；③如图4，作ME ⊥对称轴，垂足为E,ME 交NC ，交点为F.设点M 的坐标为（k ，223k k +-），则ME=1k +，CF=22k k +，易证△MNE ≌△CFM ，∵ME=CF ，故221k k k +=+，解得：1k =，2k =，故点M ； ④如图6，作MF ⊥y 轴，垂足为F,MF 交对称轴于点E ；设点M 的坐标为（k ，223k k +-），则ME=1k --，CF=22k k --，易证△MNE ≌△CFM ，∵ME=CF ，故221k k k +=+，解得：112k -+=（舍），212k -=，故点M 的坐标为（12-，52-；综上可得点M 的坐标为：⎝⎭或⎝⎭或（，.。