对勾函数的性质及应用一.对勾函数b y ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b yax x=+≥2√ab （当且仅当b x a =)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，ab ），（a b -,0）1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,ab ），（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac xc bx ax x f 。

此类函数可变形为b xc ax x f ++=)(，可由对勾函数xcax y +=上下平移得到 练习1.函数xx x x f 1)(2++=的对称中心为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a kx ax x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数xax y +=左右平移，上下平移得到 练习 1.作函数21)(-+=x x x f 与x x x x f +++=23)(的草图 2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标 3. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中心类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f 。

此类函数定义域为R ，且可变形为x b x a xbx a x f +=+=2)( a.若0>a ，图像如下：1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[ba ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当0x >时，)(x f 在b x =时，取最大值b a 2，当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值ba 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）；增区间是],[b b -练习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为b. 若0<a ，作出函数图像：1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[ba ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限. 当0x >时，)(x f 在b x =时，取最小值b a 2-，当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最大值ba25. 单调性：增区间为（∞+,b ），（b -∞-,）；减区间是],[b b -练习1.如2214xa x +=-+()1,2x ∈-，则的取值范围是 类型六：函数)0()(2≠+++=a mx cbx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数xtax y +=左右平移，上下平移得到 练习1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.2.已知1->x ，求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值；3.已知1<x ，求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值类型七：函数)0()(2≠+++=a cbx ax m x x f练习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值；若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值 类型八：函数ax b x x f ++=)(.此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-++=+-++=a b a x a b a x a x a b a x x f练习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值；2．求函数15)(++=x x x f 的值域；3.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f 。

此类函数可变形为标准形式：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=练习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值； 2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域三、关于求函数()01>+=x xx y 最小值的十种解法1. 均值不等式0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当xx 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。

∴当1=x 的时候，2min =y2. ∆法0112=+-⇒+=yx x xx y 若y 的最小值存在，则042≥-=∆y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。

通过观察当1=x 的时候，2min =y 3. 单调性定义设210x x << ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。

∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y4. 复合函数的单调性2112+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=x x x x y xx t 1-=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增又 ∈x ()1,0()0,∞-∈⇒t ∈x [)+∞,1[)+∞∈⇒,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增即当1=x 取到最小值，()21min ==f y5. 求一阶导2'111xy x x y -=⇒+= 当()1,0∈x 时，0'<y ，函数单调递减；当[)+∞∈,1x 时，0'>y ，函数单调递增。

∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y6. 三角代换令αtan =x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则αcot 1=xααα2sin 2cot tan 1=+=+=x x y⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα()πα,02∈⇒∴当4πα=，即22πα=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x7. 向量b a x x x x y ⋅=⋅+⋅=+=1111， ()1,1,1,=⎪⎭⎫⎝⎛=b x x a b a ⋅θcos b a ⋅=θcos 2a根据图象，a 为起点在原点，终点在xy 1=()0>x 图象上的一个向量，θcos a 的几何意义为a 在b 上的投影，显然当b a =时，θcos a 取得最小值。

此时，1=x ，222min =⋅=y8．图象相减⎪⎭⎫⎝⎛--=+=x x x x y 11，即y 表示函数x y =和x y 1-=两者之间的距离求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线x y =，显然当x y =与xy 1-=相切时，两曲线竖直距离最小。

x y 1-=关于直线x y -=轴对称，若x y =与xy 1-=在1>x 处有一交点，根据对称性，在10<<x 处也必有一个交点，即此时x y =与xy 1-=相交。

显然不是距离最小的情况。

所以，切点一定为()1,1-点。

此时，1=x ，2min =y9.平面几何依据直角三角形射影定理，设x EB x AE 1,==，则xx AD AB 1+== 显然，xx 1+为菱形的一条边，只用当AD AB ⊥，即AD 为直线AB 和CD 之间的距离时，x x 1+取得最小值。

即四边形ABCD 为矩形。

此时，xx 1=，即1=x ，2min =y10. 对应法则设()[]t x f =min ()=2xf 221x x+()+∞∈,0x ，()+∞∈,02x ，对应法则也相同 ∴()[]t x f =min2()()211222++=⇒+=xx x f x x x f 左边的最小值=右边的最小值 ∴122-=⇒+=t t t （舍）或2=t 当2x P x ==，即1=x 时取到最小值，且2min =y对勾函数练习：1．若 x>1.求11-+=x x y 的最小值. 11.若2229tt a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立，则a 的取值范围是 2. 若 x>1. 求1222-+-=x x x y 的最小值 12. 求函数()()111612>+++=x x xx x x f 的最值。

3. 若 x>1. 求112-+-=x x x y 的最小值 13. 的值域时，求，当142)()10(+=∈x xx f x4. 若 x>0. 求x x y 23+=的最小值 14. 的值域求31)(22++++=x x x x x f 5.已知函数)),1[(22+∞∈++=x xax x y （1） 求的最小值时，求)(21x f a =(2)若对任意x ∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a 范围6.: 方程sin 2x －asinx+4=0在[ 0 ,2π]内有解 ，则a 的取值范围是__________7. 函数()1027y x x x =+≤≤的最小值为____________；函数()1027y x x x =-≤≤的最大值为_________。