2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．14C ．1D ．4【答案】D 【解析】33a b 与的等比中项，∴3=3a •3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2．∴11a b +=()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 3．若()101d a x x =+⎰，10cos d b x x =⎰，1e d xc x =⎰，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】直接由微积分基本定理计算出,,a b c 可得． 【详解】因为()1210131d 22a x x x x ⎛⎫=⎰+=+= ⎪⎝⎭，()0101cos d sin sin11b x x x =⎰==<，01013e d ee 12xx c x =⎰==->，所以b a c <<， 故选：C. 【点睛】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．4．已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．73B ．53CD【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数yt x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 题中的不等式即：()2222224a x yx xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立， 原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t tf tt ttt⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪++-⎪ ⎪=⨯=⨯+=+⎪ ⎪⎪++ ⎪⎝⎭-++⎪⎪-⎝⎭，令12m t=-，则112m≤≤，令()34g m mm=+，则()g m在区间132⎛⎫⎪⎪⎝⎭，上单调递减，在区间31⎛⎫⎪⎪⎝⎭，上单调递增，且()172124g g⎛⎫==⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t==，时，函数()g m取得最大值，则此时函数()f t取得最小值，最小值为：()2241211712113f⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a的最大值为73．本题选择A选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．5．下列函数中，在定义域内单调的是（）A．12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭B．2yx=C．2y x=D．1y xx=+【答案】A【解析】【分析】指数函数01a<<是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.【详解】A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，指数函数x y a = 01a <<是单调递减函数,正确\ B. 2y x=反比例函数，在0x >单调递减，在0x <单调递减，但在0x ≠上不单调，错误 C. 2y x =，在定义域内先减后增，错误 D. 1y x x=+，双勾函数，0x >时先减后增，错误 故答案选A 【点睛】本题考查了函数的单调性，属于简单题.6．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ） A ．83 B ．1或83C ．82D ．1或82【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±.当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选B. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.7．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米A ．243π-B ．36363π-C ．36243π-D ．48363π-【答案】D 【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米， 故截面中阴影部分的面积S=13161416=4 3.343ππ⨯⨯-⨯-平方米， 又由圆柱形的罐子的高h=9米， 故水的体积V=Sh=48 3π- 故选D ．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档． 8．已知全集U =R ，集合2{|20},{|2}A x x x B x x =-<=<，则（） A ．()R B C A R ⋂= B ．()R B C A ⋂=∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =I【答案】D 【解析】 【分析】首先解出集合A ，B ，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。

【详解】由题可得{}|02A x x =<<，{}|-22B x x =<<； 所以{}|02A B x x A ⋂=<<=，则D 选项正确； 故答案选D 【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。

9．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]【答案】B 【解析】分析：根据题意求得函数()f x 的解析式，进而得到()()'f x f x 的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由()()'2xf x f x xe -+=，得()()'2xxe f x e f x x +=，∴()'2x e f x x ⎡⎤=⎣⎦， 设()2xe f x x c =+（c 为常数），∵()01f =， ∴1c =，∴()21xx f x e+=， ∴()()22221(1)x xxxxe x e x f x e e ---==-'， ∴()()222'(1)2111f x x x f x x x -=-=-+++， ∴当x=0时，()()'1f x f x =-；当0x ≠时，()()'211f x f x x x=-++，故当0x >时，12x x+≥，当1x =时等号成立，此时21101x x -<-+≤+； 当0x <时，12x x+≤-，当1x =-时等号成立，此时22111x x-≤-+<-+． 综上可得22101x x-≤-+≤+，即函数()()'f x f x 的取值范围为[]2,0-．故选B ．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数()f x 的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．10．在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．直线A E '与直线BF 共面 B ．12BF =C ．A EC 'V 可以是直角三角形D ．A C DE '⊥【答案】C 【解析】 【分析】（1）通过证明,,,A E B F '是否共面，来判断直线A E '与直线BF 是否共面； （2）取特殊位置，证明12BF =是否成立；（3）寻找A EC 'V 可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明'A C DE ⊥能否成立． 【详解】，如图，因为,,,B C E A '四点不共面，所以E ⊄面A BC '，故直线'A E 与直线BF 不共面；ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，位置不定，当面A DE '⊥面BCDE ，此时12BF ≠； 取DE 中点，连接,A G CG '，则A G DE '⊥，若有A C DE '⊥，则DE ⊥面A CG '即有DE CG ⊥，在Rt DGC ∆中，12,,602CD DG CDE ο==∠=明显不可能，故不符合；在A EC 'V 中，1A E '=,3CE =72AC =>，所以当2A C '=时，A EC 'V 可以是直角三角形； 【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．11．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱AA 1⊥平面ABC ，若AB=AC=3，12,83BAC AA π∠==，则球的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．100πD ．104π【答案】C 【解析】分析：求出BC ，由正弦定理可得可得ABC ∆外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：3,120AB AC BAC ==∠=o Q ，BC ∴=199233()332+-⨯⨯⨯-=∴三角形ABC 的外接圆直径2r =3336=，13O A r ∴==，1AA ⊥Q 平面1,8ABC AA =，14OO =，∴该三棱柱的外接球的半径9165R OA ==+=，∴该三棱柱的外接球的表面积为22445100S R πππ==⨯=，故选C ．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.12．—个物体的运动方程为21s t t =-+其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（ ） A ．6米/秒 B ．7米/秒C ．8米/秒D ．9米/秒【答案】D【解析】分析：求出运动方程的导数，据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=3时的值，即为物体在3秒末的瞬时速度详解：∵物体的运动方程为s=1﹣t+t 2 s′=﹣1+2t s′|t=5=9. 故答案为：D.点睛：求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案和数有__________. 【答案】10 【解析】首先分给甲乙每班一个名额，余下的3个名额分到3个班， 每班一个，有1中分配方法；一个班1个，一个班2个，一个班0个，有236A =种分配方法；一个班3个，另外两个班0个有3种分配方法； 据此可得，不同的分配方案和数有6+3+1=10种.14．一根木棍长为4m ，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3m 的概率为______． 【答案】12【解析】 【分析】试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果． 【详解】设“长为4m 的木棍”对应区间[]0,4，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3m ”为事件A ， 则满足A 的区间为()0,1或()3,4， 根据几何概率的计算公式可得，()2142P A ==． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15．求经过点()43-，，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距2倍的直线方程为________. 【答案】32204y x x y =-+-=或 【解析】 【分析】根据截距是否为零分类求解. 【详解】当在x 轴上的截距为零时，所求直线方程可设为y kx =，因为过点()43-，，所以33,44k y x =-=-； 当在x 轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为12x ym m+=，因为过点()43-，，所以1,220.m x y =+-=；所以直线方程为32204y x x y =-+-=或 【点睛】本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.16．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份A 的含量x （单位：g ）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系：(20)y x x =-.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，估计这批中成药的药物功效的平均值为__________药物单位． 【答案】92 【解析】 【分析】由题可得1234540x x x x x ++++=，()()()22212520x x x x x x -+-++-=L进而可得222125340x x x +++=L ，再计算出125y y y +++L ，从而得出答案．【详解】5个样本12345,,,,x x x x x 成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，所以1234540x x x x x ++++=，()()()22212520x x x x x x -+-++-=L ，即()22221251252520x x x x x x x x +++-++++=L L ，解得222125340x x x +++=L因为2(20)20y x x x x =-=-，所以()()22212512512520460y y y x x x x x x +++=+++-+++=L L L所以这批中成药的药物功效的平均值460925y ==药物单位 【点睛】本题考查求几个数的平均数，解题的关键是求出222125x x x +++L ，属于一般题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln kf x x x=+，k ∈R . （1）若2k =，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()3e f x x≥-恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2（2）0k ≥ 【解析】 【分析】(1)利用导数求单调区间；(2)先分离参数，转化为()23k x lnx e ≥--在()0,x ∈+∞恒成立利用导数求最值即可求解． 【详解】（1）()2f x lnx x =+，()22122,0x f x x x x x-=-=>'， 所以当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增； 当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减．综上，()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2．（2）()()2233e f x k x lnx e x≥-⇔≥--．令()()23g x x lnx e =--，则()k g x ≥在()0,x ∈+∞恒成立．()'2g x lnx =-，当2x e >时，()'0g x <，()g x 单调递减；当20x e <<时，()'0g x >，()g x 单调递增． 所以()g x 的最大值在2x e =时取得，()20g e =．所以0k ≥． 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数恒成立问题，分离参数，属于基础问题基础方法． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4nT <． 【答案】（1）1()2n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即12n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，裂项求和即可. 【详解】（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ②-①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()*12nn a n N +=∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．19．已知函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值． 【答案】（Ⅰ）1,3a b =-=；（Ⅱ）333ln24-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点()()1,1f 代入切线方程得出()10f =，利用导数的几何意义得出()12f '=，于此列方程组求解出实数a 、b 的值；（Ⅱ）求出函数()y f x =的定义域，然后对函数()y f x =求导，利用导数求出函数()y f x =的单调区间，分析出该函数的极大值点并求出该函数的极大值。