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作业：p189 5-1-1，5-1-2 p192 5-2-2 p198 5-3-3
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5.4 集肤效应 Skin Effect 1 导体中任一点E、H、Ｊ的微分方程（在MQS近似下） 对 H J 取旋度，
H ( H ) 2 H J
求解方法：分两步
1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解 静电场公式
电荷 分布
Ｅ、Ｄ
D H J , B 0 t
Ｈ、Ｂ
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例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l
（>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压
应，属于似稳场。 2. 在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互 依存。 3. EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程，在任一时 刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D EQS场的磁场按 H J t
计算。
4. MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时 刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。 MQS场的电场按
l
0 时，有
J 2 n J 1n 0 t
根据
J E
及 D2 n D1n
( 2 E2n 1E1n ) ( 2 E2n 1E1n ) 0 t 导电媒质分界面上全电流密度法向分量连续 E1t E2t 导体分界面
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a b
H
E
I
S
I H e 2 I * U * S EH ez 2 2 ln( b / a)
b UI * UI * P Re[ dS ] Re[ d ] Re[UI * ] 2 S 2 ln( b / a ) a ln( b / a )
u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的 圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
U 0 sin t E e ln( b / a)
U 0 cos t D E JD e t t ln( b / a)
ρ
U 0 cos t 2l iD J D dS 2l U 0 cos t CU 0 cos t s ln( b / a) ln( b / a)
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2 磁准静态场
定义： 若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 D 的 t 作用，即
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解方程组
消去 E1
aE1 bE2 u(t ) d ( 2 E2 1E1) ( 2 E2 1E1) 0 dt
（1）
dE2 d (a 2 b1 ) (a 2 b 1 ) E2 1u (t ) 1 u (t ) dt dt
在导体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其
衰减快慢取决于驰豫时间。
良导体中 ， τ e <<1 ，故良导体内部无自由电荷的积累。 电荷驰豫过程的电磁场可近似为电准静态场。
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在 EQS 场中， 2 1 0e 其解为
τ
t
e


(r , t )
, 均匀，且各向同性， 由电荷守恒定律
D

及高斯定律
J t
D ( ) D t
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0 t
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0 t
其解为
oe
t e
τ o 为 t 0 时的电荷分布 ， e / －驰豫时间。
利用
B H B 0 H ( E ) t t
2
H H t
a ρ0 h y a h
' ' '
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2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
根据 有 当
SJ dS q / t,
1 1 J1n S J 2 n S S 1l S 2l S t 2 2
例4 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，
写出分界面上面电荷密度的表达式。 解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 u(t )
分界面衔接条件 双层有损介质的平板 电容器
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
联立求解方程组可得面电荷密度
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确定 E2 (0 ), 对式（1）积分，t 从 0 0 ，且 得
U (0 ) 0 E2 (0 ) 0
1 E2 (0 ) U s ＝Α＋Ε"2 a 2 b 1
（4）
式（3）代入式（4）
1 1 A Us ( ) a 2 b1 a 2 b 1
V
0 e 4r

t τe
dV
s
dS 4r
0 ( r )e
t τe

S
dS 4r
说明导体中体电荷 产生的电位很快衰减，导体电位由面电
荷决定。
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例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
涡流场：导体中的磁准静态场。 良导体：满足ωε<<γ的导体。 b. 理想介质中的时变电磁场
e
-j
R <<λ
1 R
R
v
1
R
v

2R
近区或似稳区
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思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
1.
, A 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效
6 导体交流内阻抗
7 电磁屏蔽
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本章要求
1 了解EQS和MQS的共性和个性， 2 掌握工程计算中简化为准静态场的条件； 3 掌握准静态场的计算方法。
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5.1 电准静态场和磁准静态场 Electroquasistatic and Magnetoquasistatic 1 电准静态场 定义： 若库仑电场Ec远大于感应电场Ei，电场呈无旋时， 即
通解
E2 E2 E2 Ae pt E2
t Ae
E2
（2）
a 2 b 1 1 a 2 b1 p , 特征根： a 2 b1 a 2 b 1 （驰豫时间） t 时，E , u(t ) 均不随 t 变化 1 从式(1)得稳态解 E2 Us （3） a 2 b 1
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面电荷密度
2 1 1 2 σ 2 E2 (t ) 1E1 (t ) U s (1 e a 2 b 1
当 t 0 时，

t τ)
0
= 常数
t ，
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。 多层有损介质，在低频交流电压作用下，若位移电流 大于介质中的传导电流，电场按介电常数分布，属静 电场问题；在直流电压作用下，稳态仅有传导电流， 电场按电导率分布，属恒定电流场问题。
b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论 的近似。
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
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例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解： E
U e ln( b / a)
第五章 准静态电磁场 主要内容
Quasistatic Electromagnetic Field
1 电准静态场与磁准静态场 （Electroquasistatic） 简写 EQS 2 磁准静态场与集总电路 （Magnetoquasistatic ）简写 MQS 3 电准静态场与电荷驰豫 4 集肤效应与邻近效应 5 涡流及其损耗
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
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2 证明基尔霍夫电压定律
J ( E Ee )
. . B A
J A J Ee E 环路电压 t B B A B BJ A Ee dl A t dl A dl A dl
E (t )
di 1 us Ri L idt u R u L uC dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
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di L dt
1 1 q(t ) idt C C
l
S
i Ri
3 磁准静态场与电路 a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。
E ( E c Ei ) E c 0
此时的电磁场称为电准静态场。 基本方程组（微分形式）：
D E 0 , H J , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation