瞬时速度
ux ux u x
可用毕托管测得
(5-1a) 可用热线仪、 激光仪测得
时均速度 脉动速度
时均速度讨论Βιβλιοθήκη 均法式中，时均速度的定义为：
1 ux t

t
0
u x dt
其中 t 为平均周期，它比湍流周期大得多，以便得到
稳定的平均值，它又比非稳定的特征时间小得多，以便 把 t 视为一个瞬间值。 由于脉动速度的脉动频率极大，故一般只需要取几秒左 右即可满足平均周期的要求。 从微观上讲，湍流根本无所谓稳态，但是从统计的观点 来看，湍流又有稳定状态，但这是指均量而言。 全部湍流理论就是研究脉动值和平均值之间的相互关系。
度可高达I 40%
二、湍流的基本方程

雷诺等人认为：湍流的真实速度场仍满足C.E.方程和 在此前提下，第三章导出的方程在运用于湍流时，各
N-S方程。
强度量等均应视为瞬时值，经时均化后，对原方程进 行处理。

方程中的均时值仍保持层流方程的形式，而脉动值 处理后反映了湍流因素。
本章仅讨论不可压缩粘性流体的湍流流动。
5. 时均值的运算法则
设：
A、B 为湍流中,物理量的瞬时值
A 、 B 为湍流中物理量的均时值
A、B 为湍流中物理量的脉动值
运算法则
P100
1）瞬时值之和(差)的平均值等于各平均值之和(差)
A B A B
2）时均值的平均值等与原来的时均值
A A
3）脉动值的时均值等于零
A 0
2）模型表述

e yx
u xuy
根据混合长概念，将时均值与脉动值联系起来，
l
d ux u x l dy
（5-18）
脉动值与时均值关系，推导见 P103。
uy C u x
（5-19）
两脉动速度成正比，推导见 P104
模型表述
综上所述可知
d ux u x l dy
图a
② 流层的波动
高压向低压运动的结果，使得起伏进一步加剧。 最终在横向压力和剪应力的综合作用下，促使旋涡形
成。
图b
实际流动中，初始干扰可由各种意想不到的因素所引起，
所以涡团的产生带有极大的随机性。
2)漩涡的脱离
产生涡团后，若只是在原地旋转，还不能形成湍流。 只有当涡团脱离原流层进入新流层，流动内部扰动加
Du x
Dt
e e e xx yy yy xx yx g x zx x y z x y z
经过时均化处理后多出 3项； 这些附加的应力项是由于流体质点涡团脉动所产生的
湍流应力(或称雷诺应力)，是湍流运动的特征。
湍流应力可用脉动速度与之相关联。 得到湍流应力表达式，如下：
（2-27a）
上述方程中
u x u x u x
ux ux
均时化处理后，得
t e ij ij ij
ij
t ij
e ij
总粘性 分子 湍流应力 应力 粘性应力
将上述关系代入（2-27a），得到雷诺方程
雷诺方程
上述关系代入（2-27a），得到雷诺方程
证明见讲义P135
运算法则
4）两个瞬时值之积的时均值，等于两个时均值之积
与两个脉动值之积的时均值之和
AB A B AB
5）瞬时值导数的时均值等于时均值的导数值
A A x x
（对空间坐标求导）
A A t t
（对时间求导）
6. 湍流强度 I（intensity of turbulence）
2)漩涡的脱离
涡团上下的速度差，造成了涡团下方压力大于上方
压力，产生了“茹可夫斯基”升力，有了上升的趋势。
涡团要能脱离原处，必须克服两个阻力：
一是，涡团启动和加速过程所需的惯性力，
二是，涡团在运动过程中的摩擦阻力。 在涡团脱离前，惯性阻力为主， 在涡团上升时，增加了摩擦阻力。
2)漩涡的脱离
本章主要内容
一、湍流的基本概念
二、湍流的基本方程 三、光滑管内的湍流 四、粗糙管中的湍流（自学） 五、沿平板湍流边界层的近似解 六、沿平板混合边界层的近似解
一、湍流的基本概念 1. 流型转变 2. 湍流原因 3. 湍流特点 4. 速度的表示方法 5. 时均值的运算法则 6. 湍流强度
所以，均时化处理后的连续性方程为
ux u y uz 0 x y z
（5-8）
时均化处理后的连续性方程与层流方程形式上相同。
2. 运动方程的时均化 —— 雷诺方程
下面来推导湍流的动量方程 首先考虑 N-S方程 在直角坐标系中 x 向 的表达式
t zx Dux g x Dt x y z t xx t yx
本节主要内容

1. 连续性方程的均时化
2. 运动方程的时均化

3. 普朗特混合长理论
1. 连续性方程的均时化
已知，对于不可压缩流体，不论运动是否稳态，连续
性方程都是
ux u y uz 0 x y z
（2-12）
将上述瞬时速度拆成均时速度和脉动速度两项，
然后进行时均化处理：
1．流型转变—雷诺实验
湍流流动现象，最早是由雷诺观察得到的。
1883年，他通过著名的雷诺实验，观察到当
Re>12000时，管内流动从层流转变为湍流流动。
此时，流线不再呈现有规律的层状流动，而
是在各个方向上呈现出杂乱无章地，以大小不 同的流速运动，同时发生强烈的混合，总的流 动方向还是指向下游。
剧。根据连续性原则，各流层间必然会有涡团的交换， 这种交换不断进行，就形成了湍流。 那么在什么条件下，才能使涡团脱离原流层呢？
当流线由左向右流动时，涡团顺时针
旋转，此时涡团上方与外流流向一致， 由于粘性力的作用使涡团上方的流体 进一步加速，压力变小。
而涡团下方则与外流流向相反，使得
团涡下部进一步减速，压力增大，形 成由下往上的压差。
yx

e yx
d ux d ux u x u y l dy dy
2
模仿层流时的牛顿粘性定律（分子粘性应力）
dux dy
湍流脉动造成的应力，写成

式中
e yx
d ux e dy
2
(5-23)
涡流粘度
d ux e l dy
(5-24)
说明
值得注意的是粘性系数
这样统计平均处理的方法就成为描述湍流流动的主要
工具。
4. 瞬时速度表示方法 — 时均法

在湍流理论中，对变量有多种统计平均方法 如时均法、体均法、质均法、概率平均法。 这里以变量速度为例，介绍时间平均法。
时均法的基本思想是：将湍流时的瞬时速度看作是由 时间统计平均速度和脉动速度组合而成，其表达式为：
(2)外界干扰，是形成涡团的重要外部条件。
3. 湍流特点
从以上的讨论中得到，随机性是湍流的主要 特点。
它具有如下特点：
（1）即使保持在相同的实验条件下重复试验，
每次试验得到的结果也不可能相同。
有人实测了管内湍流流动时轴向速度分量和时
间的实验。
湍流中时均速度表示图（图5-5）
脉动速度
是分子的运动特性，与物体
性质、温度、压力等有关而与流体是否运动无关，是 物性常数；
（5-6）
湍流强度 I
2 2 2 u u u x y z
I
1 2 2 2 ( u x u y uz ) 3 ux
若 x, y, z 三个方向上的湍动同性，则有
上式可简化为：
I
2 u x
ux
(5-7)
针对不同的湍流状况，湍动强度的数值有很大差别。 例如，管流时，湍流强度 I 110% 对于自由喷射和尾流这样的高度湍动流动，其湍流强
uy C u x

e yx
2 d ux u x u y C l dy
2
d ux l dy
2
2
式中 l 为混合长，相关系数 C 是接近 1 的值。 进一步写成

e yx
d ux d ux u x u y l dy dy
2
模型表述
时均速度
瞬时速度
由图可见，对宏观上是稳定的流动，其流线也不再是
一条水平流线，而是在水平流线上叠加了有众多的小 尖峰（涡团造成的脉动）。
湍流特点
（2）在相同的实验条件下，对
任何一次实验所测试的物理量 进行足够多次的算术平均处理， 其平均值趋于一确定值。
lim 1 N
N
B( x , y , z , t ) B ( x , y , z , t )
于是这一流层受到了一对力偶的作用。
流层
力偶的产生
1）旋涡的形成
② 流层的波动
波动（或扰动）
当这对力偶受到来自横向干扰时就有可能产生旋涡。 某一偶然的初始扰动，使得流线呈微波状（见图a）。 波动使波峰上方流道截面变小，流速加大，压力降低“-”，
波峰下方流道截面变大，流速加大，压力加大“+” 显然这样的压力分布是不平衡的，高压区的流体将向邻近 的低压区运动（见图a）。
湍流应力表达式


e xx
e yx
ux
2
u xuy
（5-12）
ux u z
e zx
e 以 yx u x u y 为例说明其含义，见图
下面用时均速度来表达脉动值以减少方程变量。
3．普朗特混合长理论