概率论与数理统计
例2
2, (x, y) ∈G f (x, y) = . 0, 其他
解
X 型区域G : 1 − x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1;
概率论与数理统计
例3 设X～b(n,p),求E(X),D(X). 解 X表示重伯努利试验中“成功的次数”，令
i 试 成 , 1, 第次 验 功 Xi = i 试 失 0, 第次 验 败
E ∑Xi = ∑E( Xi ) i=1 i=1
n n
线性性质
4.当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
E ( Π Xi ) = Π E( Xi )
n i=1 n i=1
概率论与数理统计
（二）方差 1.定义 D(X)=E [X-E(X)]2 标准差： D( X ) 2.计算 (1) 计算公式 计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X). (2) 离散型：D( X ) = ∑ [ xi − E ( X )]2 pi .
cov(X,Z) ρXZ = = 3/2 . D(X) D(Z)
概率论与数理统计
ρXY =1/ 2, cov(X,Y) = 2
例8 θ～U[-π,π],X=sin θ, Y=cos θ,X,Y是否相 关，是否独立？ +∞ 解 E ( X ) = E (sin θ ) = ∫ sin θ f (θ )dθ
1 dθ = 0, = ∫ sin θ ⋅ −π 2π
概率论与数理统计
例1
已知随机变量 X 的分布律为
X
1
0
p
p
1− p
求D(X). +∞ 解 E( X ) = ∑xi pi = 1× p + 0×(1− p) = p,
i =1
E( X 2 ) = ∑xi2 pi = 12 × p + 02 ×(1− p) = p,
i =1
+∞
D( X ) = E( X 2 ) −[E( X )]2 = p − p2 = p(1− p)
概率论与数理统计
j =1 i =1
+∞ +∞
例6
解 X 型区域G : x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1;
1 1
y
4 cov( XY ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = . 225 概率论与数理统计
4 E ( XY ) = ∫∫ xy ⋅ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ xy ⋅ 8 xydy = , 0 x 9 D
+∞
(2)(X,Y)为二维随机变量, Z=g(X,Y),
∞
−∞
g ( x ) f ( x ) dx
∞
离散型： 离散型： ( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) pij E 连续型： 连续型： +∞ +∞ E ( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∫ ∫ g ( xi , y j ) f ( x, y )dxdy
X =
*
X −E(X ) D( X )
, Y =
*
Y − E (Y ) D (Y )
* * Cov( X * , Y * ) = E{[ X * − E ( X * )][Y * − E (Y * )]} = E ( X Y )
= E[ =
=
X − E ( X ) Y − E (Y ) D( X ) D (Y )
1= ∫
∫ f (x, y)dxdy = ∫ [ ∫ cy (2 − x)dy ]dx = c ∫ (2 − x)dx ∫ ydy 1 5c = c ∫ (2 − x)( x )dx = . 2 24
1
+∞
+∞
−∞
x
−∞
y
0
0
1
x
D2
0 1 0
0
2
O
x
⇒ c = 24 / 5.
概率论与数理统计
cy(2 - x), 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ x, f (x, y) = 其他 . 0,
概率论与数理统计
Y
Y
Y = a0+b0 X ( b0 < 0 )
Y
Y= a0 +b0 X ( b0 > 0 )
O
ρXY = 1
Y
X
O
Y
ρXY = − 1
X
O
y = a0 +b0 x ( b0 > 0 )
ρ =0
XY
y = a0 +b0 x ( b0 < 0 )
X
0 < ρXY < 1 概率论与数理统计
概率论与数理统计
(0 ≤ y ≤ 1)
Review
（一）随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望 设X的分布律为 P ( X = xi ) = pi ,i = 1,2,⋯ 则
E ( X ) = ∑ xi pi
i =1 +∞
2.连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则
λ
λ
(b − a ) 2 / 12
σ
2
1/ λ 2
概率论与数理统计
问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 联合分布 边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 该用一个怎样的数去反映这种联系呢？ ？
数
E([ X − E( X )][Y − E(Y)])
之间的线性 线性关系 能反映随机变量 X , Y 之间的线性关系
1 1
8 E ( X ) = ∫∫ xf ( x , y )dxdy = ∫ dx ∫ x ⋅ 8 xydy = , 0 x 15 D 1 1 4 E (Y ) = ∫∫ yf ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ y ⋅ 8 xydy = , 0 x 5 D
G
O
1.cov(X,X)=D(X) 2.cov(X,Y)=cov(Y,X) 对称性 3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y) 4.cov(X1 +X2,Y)=cov(X1,Y)+ cov(X2,Y) 5.当X ,Y 独立时，cov(X ,Y ) = 0 .
O
X
O
−1 < ρXY < 0
X
例7 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4, 1,4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 ρ XZ
解 E( X ) = E(Y) =1, D( X ) = D(Y) = 4,
cov( X, Z) = cov( X, X ) + cov( X,Y) = 6 D(Z) = D( X +Y) = D( X ) + D(Y) + 2cov( X ,Y) =12
(2) f X (x) = ∫
+∞
−∞
12 2 = x (2 − x) 5
fY ( y) = ∫
+∞ −∞
24 f (x, y)dy =∫ y(2 − x)dy 0 5
x
(0 ≤ x ≤ 1)
1
24 f (x, y)dx =∫ y(2 − x)dx y 5
24 3 y2 = y( − 2 y + ) 5 2 2
且Xi服从0-1分布，则
E ( X ) = p, D ( X ) = P (1 − p ).
∴ E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = ni p ,
i =1 i =1 n n
又Xi之间相互独立，
∴ D ( X ) = D ( ∑ X i ) = ∑ D( X i ) = ni p (1 − p),
X,Y线性不相关 线性不相关 线性
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而当cov(X ,Y ) = 0， X ,Y并不一定独立. 6.cov(C,X)=0 7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)
概率论与数理统计
为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化 后再求协方差
]
E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} D ( X ) D(Y ) Cov( X , Y )
D ( X ) D(Y )
概率论与数理统计
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
( X − E( X ))(Y − E(Y) cov( X ,Y) E = D( X ) D(Y) D( X ) D(Y)
概率论与数理统计
定义 称 E([ X − E( X )][Y − E(Y)]) 为 X ,Y 的协方差 记为 协方差. 协方差
cov( X,Y) = E([X − E(X )][Y − E(Y)])
称
cov( X ,Y) D( X ) D(Y) cov(Y, X )
为（X , Y ）的协方差矩阵 协方差矩阵
−∞ −∞
概率论与数理统计
j =1 i =1
解 X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
y
D
O
x
概率论与数理统计
X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
概率论与数理统计
1.E (C ) = C 2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E (Y ) = ∑ y j p j = (−1) × 0.55 + 0 × 0.25 + 2 × 0.2 = −0.15,