R1 = R, R2 = ∞
3. 毛细现象
接触角θ 接触角
毛细现象是由表面张力和接触角所决定。 毛细现象是由表面张力和接触角所决定。
A•
θ
R = r / cos θ
p A = p0 − 2α / R
p B = P0 = p A + ρgh
2α / R 2α cos θ h= = ρg ρgr
pB = P0 + ρ gh
2. 理想流体定常流动中的功能原理
伯努利方程
在作定常流动的理想流体中任取一细流管
p1 ∆S1
a1 b1
v v1 a2 ∆S 2 b2 v h2 v2 p2
h1
1 1 2 2 ∆E = mv2 + mgh2 − mv1 + mgh1 2 2
1 2 1 2 = ρ∆V v2 + gh2 − ρ∆V v1 + gh1 2 2
★ 流量计
根据伯努利方程有
h
1 2 1 2 p A + ρv A = p B + ρv B 2 2
A
SA
v vA
B
SB
v v B
p A − pB = ρgh
根据连续性原理 可得流量为
v A dS A = v B dS B
QV = v A S A = S A S B
2 gh 2 2 S A − SB
外力做功
A = p1 ∆S1 ⋅ a1b1 − p 2 ∆S 2 ⋅ a 2 b2 = p1 − p 2 ) ∆V （
根据功能原理
A = ∆E
1 2 1 2 p1 + ρv1 + ρgh1 = p2 + ρv2 + ρgh2 2 2
细流管内的任意点有
1 2 p+ ρ +ρ h=常 v g 量 2 伯努利方程
2α p A = p0 − r
2α p B = p0 + R
A
h
1 1 pB − p A = 2α + R r
B
流体静力学的基本公式
p B − p A = ρgh
联立可得
1 1 ρgh = 2α + R r
管中水柱的高度
2α 1 1 h= + ρg R r
r r df / / df
dS
r df ⊥
r r df τ = dS
作用在单位面积 上的力称为应力
G=
df dS
剪应力
流体 df ⊥ df ⊥ σ= p= 正应力 dS dS 压强
一. 静止流体中的牛顿力学
※每一个流体元受力平衡
※流体都是可压缩的，气体容易压缩，液体 流体都是可压缩的，气体容易压缩， 就难一些。 就难一些。于此我们只讨论流体的机械运动 不涉及热力学问题（ ，不涉及热力学问题（压缩引起内能变化等 ），所以研究的流体都假定是不可压缩的 所以研究的流体都假定是不可压缩的。 ），所以研究的流体都假定是不可压缩的。
小滴数量
13
3M R= 4πρ
面积增量 需做功
4πr ρ N= 3M
3
2 2
∆S = N ⋅ 4πr − 4πR
A = α N ⋅ 4πr 2 − 4πR 2 = 0.15(J )
(
)
2. 弯曲液体表面内外压强差 弯曲液体表面内外压强差——附加压强 附加压强
∆ p = p内 − p 0
2. 静流体的基本公式
h
p
∆S
p0 ∆S
p∆S
mg = ρ∆Shg
ρ∆Shg + p0 ∆S − p∆S = 0 ρ hg + p0 − p = 0
y
p = p0 + ρ hg
例题： 例题：一水库的水坝长 L，坡度角为 ，水深 H， ，坡度角为θ， ， 求水对水坝的压力。取大气压为P 水的密度ρ。 求水对水坝的压力。取大气压为 0 ，水的密度 。 解：取狭长条上 p 相等
(
)
(
)
，
（和空气为界）， 和空气为界）， 的水银滴在空气中 的小水银滴， 的小水银滴，
等温散布成半径为 .0 ×10−6 (m ) r =1
A = ∆E表面 = α∆S
设水银滴为球状， 设水银滴为球状，大的半径为 R，小的半径为 r ，
总质量不变 大滴半径
4 3 4 3 M = πR ρ = N πr ρ 3 3
C
A
B
2a PB = PA − R 2a PB = PC + R
皂泡内外压强差
4a PA − PC = R
★ 任意形状的弯曲液面某处的附加压强 拉普拉斯公式
1 1 ∆p = p内 − p0 = α + R R 2 1
对于凸球形液面 对于凹球形液面 对于凸圆柱形液面
R1 = R2 = R R1 = R2 = − R
（1）球形液面附加压强 ）
2πRα
p内
p0
πR 2
2πRα
p内
p0
p内πR 2 = α ⋅ 2πR + p0πR 22α ∆p = pFra bibliotek − p0 = R
πR 2
p内π R + α ⋅ 2π R = p0π R
2
2
2α ∆p = p内 − p0 = − R
2a P内 = P0 ± R
p0
p内
p 0 = p内
（2）表面张力计算 ）
∆f = α∆l
α：表面张力系数 ：
∆f
∆l
∆f
表示沿单位长度分界线两侧液面的相互拉力 （3）表面张力系数实验测定 ）
W = 2αl
（4）表面能 ）
r r dA = F ⋅ dr = Wdx cos 00 = 2α ldx = α dS = d ( E表面）
d ( E表面） α= dS
当黏滞性流体作定常流动时， 当黏滞性流体作定常流动时，必须考虑由内 摩擦引起的能量损耗。 摩擦引起的能量损耗。伯努利方程应修正为
1 2 1 2 p1 + ρv1 + ρgh1 = p2 + ρv2 + ρgh2 + w 2 2
沿程能量损失 粗细均匀的水平细流管
p1 − p 2 = w
两端开口的坚直管中定常流动
※对于连续流体，我们取“质元”代替 “质 对于连续流体，我们取“质元” 连续流体 质元是有质量的体积元。 点” . 质元是有质量的体积元。
dS
dm = ρ dV
※被 dS 分开的两部分流体之间的作用力与反作用力
dS
※流体内部各部分之间的相互作用的内力，不 流体内部各部分之间的相互作用的内力， 再看成是作用与一个个离散的质点上，而是看 再看成是作用与一个个离散的质点上， 成作用在质元的表面上. 成作用在质元的表面上.
是理想流体作定常流动时的动力学规律
在工程上， 在工程上，伯努利方程经常写成
p v2 + + h = 常量 ρg 2 g
水平流管或气体中高度差效应不显著的情况
1 2 1 2 p1 + ρv1 = p2 + ρv2 2 2
1 2 p+ ρ =常 v 量 2
3. 伯努利方程的应用
★ 小孔流速
根据伯努利方程有
A
p0
h
1 2 p0 + ρgh = p0 + ρv B 2
小孔流速为 计算小孔流量
v B = 2 gh QV = v B S B = 2 gh S B
B
p0
虹吸管
A
hA
p0
p0
伯努利方程
B
hB
1 2 p0 + ρghA + 0 = p0 + ρghB + ρv B 2
B 处流速为
v B = 2 g (hA − hB )
ρg (h1 − h2 ) = w
3. 两个著名公式
r v2 r v1 dS1 dS 2
dQV 1 = dQV 2
v1dS1 = v2 dS 2 vdS = 常量 或者
ρvdS = 常量
连续性方程
物理实质体现了流体在流动中质量守恒。 物理实质体现了流体在流动中质量守恒。
1.7.2.2 伯努利方程
1. 理想流体
内摩擦力 黏滞性流体
我们把不可压缩的无黏滞性流体称为理想流体
dA = α dS = d ( E表面） dA = α dS (α 大，dS 越小） d ( E表面） dS ∝ （表面张力使液体表面积取最小）
（5）表面张力存在分析 ）
Ep分子
分子力是保守力 液体表面分子间距较大 表面分子受力不为零 表面张力是使液面处于极小
r0
r
例1.34 取水银的密度 ρ = 13.6 ×103 kg ⋅ m −3 表面张力系数 = 0.50 N ⋅ m −1 α 为了使质量为36 ×10−3 (kg ) 1. 需要做多少功？ 需要做多少功？ 解：表面积增加需要外力做功
方向为图中所示沿 450 线指向管壁
1.7.3 黏滞流体的流动
自然界存在着两种不同的流态：层流和湍流 自然界存在着两种不同的流态：层流和湍流
1.7.3.1 黏滞流体层流规律
1. 流体的黏滞性 两层流体之间的黏滞力
∆S dl
v + dv
v
dv f = η ∆S dl
黏滞性的影响因素
牛顿黏滞定律
2. 伯努利方程的修正
O
A
v0 =
ρ
v0 = 2 gh
v0 = c 2 gh
1.7.2.3 弯管中流体的反作用力
质点系的动量定理