xy平面支反力 FCy=12.5 kN，
FDy=4.5 kN
xz平面支反力 FCz=9.1 kN，FDz=2.1 kN
2、画内力图，确定危险截面
3
轴 AB 段的扭矩为 T = 1.5 kN ⋅ m （图 c），弯矩 M y 和 M z 如图 d、e 所示。从内力图
看出，危险截面是 C 或 B 截面。分别计算 C、B 两截面的总弯矩：
σ r3 = σ1 − σ 3 = −20MPa − (−40)MPa = 20MPa < [σ t ] ，安全
σ r4 =
1 2
[(−20
MPa
+
30
MPa) 2
+
(−30MPa
+
40
MPa) 2
+
(−40
MPa
+
20
MPa) 2
]
，
= 17.3 MPa < [σ t ] ，安全。
（3） σ1 = 10MPa ， σ 2 = −20MPa ， σ 3 = −30MPa ，脆性材料的危险点处于以压应力为主
态如图 c 所示，σ = 44.4 MPa ，τ = τ 2 = 35.6 MPa 。g 点处应力状态与 e 点处类似，只 是正应力为压应力。 f 点处为纯剪切应力状态，切应力大小为
τ = τ1 +τ 2 = 1.67 MPa + 35.6 MPa = 37.3 MPa
5
h 点处应力状态也为纯剪切，切应力大小为 τ = τ 2 −τ1 = 35.6 MPa -1.67 MPa = 33.93 MPa 。
态。
解：（1） σ1 = 30MPa ， σ 2 = 20MPa ， σ 3 = 15MPa ，危险点处于三向拉应力状态，不论材 料本身是塑性材料或是脆性材料，均采用第一强度理论，即：
σ r1 = σ1 = 30MPa = [σ t ] ，安全 （2） σ1 = −20MPa ，σ 2 = −30MPa ，σ 3 = −40MPa ，危险点处于三向压应力状态，即使是 脆性材料，也应采用第三或第四强度理论，即：
2、计算 B 截面的内力
剪力 FS = F = 1000N
弯矩 M = FR = 1000N × 0.2m = 200N ⋅ m
扭矩 T = FR = 1000N × 0.2m = 200N ⋅ m
3、确定 B 截面的危险点及危险点处的应力状态（图 b）
截面上弯矩引起的最大正应力发生在截面顶边 ab 和底边 cd 各点，顶边受拉应力，底
材料为钢时，许用应力 [σ ] = 160 MPa ；材料为铸铁时，许用应力 [σ t ] = 30 MPa 。试分别计算
圆轴的许可载荷 [F] ；（2）材料为铸铁，且 F=2 kN、E=100 GPa、 µ = 0.25 ，计算圆轴表面
上与轴线成 30°方位上的正应变。
1
F 30o
M
题2图 解题分析：本题中，轴为拉伸和扭转组合变形。轴的各个横截面上的扭矩、轴力均相同，所 以可以任取一截面作为危险截面。在危险截面上，轴力引起的拉伸正应力处处相等，扭矩引 起的切应力在靠近轴外表面的各点处最大，所以危险点为靠近轴表面的各点。危险点处的应 力状态如图示。 解：1、计算危险点的主应力
σ 2 + 4τ 2 =
4τ
2 max
= 2τ max
= 2 × 72.9MPa = 145.8MPa
5 图示薄壁容器承受内压 p。在容器外表面沿平行于轴向贴电阻应变片 A，测得 ε A = 100 ×10-6 ，在垂直于轴向贴电阻应变片 B，测得 ε B = 350 ×10-6 。已知制成容器材料的 弹性模量 E=200 GPa， µ = 0.25 ，试计算筒壁内轴向及周向应力，并确定内压 p。
2
根据广义胡克定律公式，要计算与轴线成 30°方位上的正应变，必须知道该方向的 正应力和与该方向垂直的方向上的正应力。设要计算的方位为－30°，则与其垂直的方 位为 60°，首先计算－30°、60°两方位上的正应力。
与轴线平行方向上的正应力、切应力分别为
σ = 1.27 ×104 m−2F = 1.27 ×104 m−2 × 2 ×103 N = 25.4 MPa
边受压应力，大小为
σ
=
M W
=
200N ⋅ m 4500 ×10 −9 m3
= 44.4 ×106 Pa
= 44.4 MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最大弯曲切应力发生在截面中性轴 h f 线上各点，方向向下，大小为
τ1
=
3 2
FS A
=
3 2
×
1000N 900 ×10−6
m
2
= 1.67 ×106 Pa
= 1.67MPa
2
2
σ 60D
=σ 2
+σ 2
cos(2 × 60D ) −τ sin(2 × 60D )
= 25.4 MPa + 25.4 MPa cos(2 × 60D ) −10.18 MPa sin(2 × 60D ) = −2.47 MPa
2
2
由广义胡克定律，轴表面与轴线成 30°方位上的正应变为
ε −30D
强度理论
典型习题解析
1 已知铸铁的拉伸许用应力 [σ t ] = 30MPa ，压缩许用应力 [σ c ] = 90 MPa ， µ = 0.30 ，试对铸 铁零件进行强度校核，危险点的主应力为：
（1） σ1 = 30MPa ， σ 2 = 20MPa ， σ 3 = 15MPa ； （2） σ1 = −20MPa ， σ 2 = −30MPa ， σ 3 = −40MPa ； （3） σ1 = 10MPa ， σ 2 = −20MPa ， σ 3 = −30MPa 。 解题分析：选用强度理论时，不但要考虑材料是脆性或是塑性，还要考虑危险点处的应力状
)2
+
(0.509 ×104 m −2 F ) 2
2
于是主应力为 σ1 = 1.45 ×104 m−2F ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −0.179 ×104 m −2 F 2、材料为钢材时，确定轴的许用载荷
根据第三强度理论，有
σ r3 = σ 1 − σ 3 = 1.45×10 4 m −2 F + 0.179 ×10 4 m −2 F = 1.63×10 4 m −2 F ≤ [σ ] = 160 MPa
解题分析：本题轮轴为弯扭组合变形。首先要将所有外力向轴线上简化，并绘制内力图，以
便寻找危险截面。找到危险截面和危险点后，即可按强度条件设计轴直径。
解： 1、计算轴上的载荷
取如图示坐标系，则外力偶矩
M eA
=
M eB
=
(5 - 2)
kN
D 2
= (5 - 2) kN × 1m = 1.5 kN ⋅ m 2
按第三强度理论设计轴的直径。直接采用
(a) A
y
MeA
(b) z
5kN C
2kN
300
5kN
500
FCz 7kN
B
2kN
500
MeB FC5y kN
12kN
D
FDz
x
FDy
圆轴弯扭组合情况下的强度条件，得
σ r3 =
M 2 + T 2 ≤ [σ ] W
(c) T
2.1 kN·m
1.5 kN·m
3
d ≥ 32 M 2 + T 2 π[σ ]
(d) My
1.05 kN·m 2.25kN·m
3
=
32
(2.58×103 N ⋅ m)2 + (1.5×103 N ⋅ m)2 π × 80 ×106 Pa
= 7(e2).4 ×1M0z−3 m = 72.4 mm
1.5 kN·m
如果按第四强度理论设计轴的直径，则
σ r4 =
M 2 + 0.75T 2 ≤ [σ ] W
比较四点处的应力状态，可知 e 点为 B 截面的危险点。按第三强度理论计算其相当应 力为
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 = (44.4 MPa) 2 + 4 × (35.6 MPa) 2 = 83.9 MPa 4、计算 C 截面上内力和应力
剪力 FS = F = 1000N 弯矩 M=0 扭矩 T = 2FR = 2 ×1000N × 0.2m = 400N ⋅ m 5、计算 C 截面危险点的应力（图 d） C 截面各点处均为纯剪切应力状态，最大切应力发生在 C 截面轴内侧中点，即图 d 中 f 点处，其值为
得
[
F
]
=
160 MPa 1.63×104 m
−2
= 9820
N
= 9.82 kN
该轴用钢材制造时，许可载荷[F ] = 9.82 kN
3、材料为铸铁时，确定轴的许可载荷
按第一强度理论，有
σ r1 = σ1 = 1.45 ×104 m−2F ≤ [σ t ] = 30 MPa
得许可载荷 [F ] = 2 kN 4、计算铸铁轴表面与轴线成 30°方位上的正应变
τ max
=
3 2
FS A
+T Wp
=
3 2
F+ A
2FR βb2
=
F b2
(3 + 2
2R βb
)
=
1000N (30 ×10−3 m)2
(3 2
+
2 × 200 ×10−3 m 0.208 × 30 ×10−3 m )
=
72.9 ×106 Pa
=
72.9MPa
按第三强度理论计算相当应力