(质心的运动就等于所有外力和 质量都集中在质心时质点的运动).
*质点组中质点运动定律 d ri ( e ) (i ) mi 2 F i F i dt ( e) (i ) d 2 rci mi 2 Fi Fi (mi r c) dt
2
roi f i 0
i
roi
:质点i相对于参考点o的位矢
③在质点组中,内力所作元功之和一般不能互相抵消 (刚体例外).
*表明在计算质点组的运动、动量和动量矩时不必考虑内力 的作用. 但在计算质点组的动能时,还应考虑内力所作之元功.
证明: (1)质点组中所有内力之和(矢量和)等于零。
(在质心系)
例 自然长度为 l ,劲度系数为 k 的弹簧，两端连结质量为m的质点，静置在 光滑水平面上。在t=0时,质点2获一向右速度 v0 ,讨论其后运动。
解 这是两质点的质点组。选择静系为ox.
1 x 质心在静系的位置为 c 2 ( x1 x 2 ) 1 x ( 0 ) ( x10 x 20 ) 且设t=0时x10 =a,x20=b c 2
0
ri fi 0
i
(3)在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵 消的证明:
则
i i dw i f 12 dr d r2 1 f 21 i = f 21 d r2 r1 i = f 21 dr i =- f 12 dr
对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知:
fij f ji fij f ji 0
fij
n (i ) F i
f ij 0
n j i
:表示第i个质点对第j个质点的作用力.
(2)质点组的所有内力对任一参考点的力矩的 和(矢量和)恒为零.
(2)质心坐标系:
质心C在静止系中的位矢,速度,加速度为: rc , vc , r c
质点mi在静止系的位矢,速度,加速度为: ri , , 质点mi在质心系的位矢,速度,加速度为: rci
ri rc rci
vi , , vci
以质点组的质心 C 为原点建立一个随质心平动的 坐标系c-x`y`z`,称为质心坐标系或质心系.
i 1 n n
(m )
i 1 i

( m r i i)
i 1
n
M
在直角坐标系质心的位置:
xc
m x
i 1 n
n
i i
m
i 1
yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zc
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
i
质量连续分布的体系的质心位置:
设两质点任意时刻的位置为
x1 x2
1 (0) 0 x
2 (0) v0 x
O
x1
xc

x2
x
由于没有外力作用，只有内力作用。 质心运动:

c 0 2m x
c (0) x
n d 2 ri d 2 rc mi 2 M 2 Fi ( e) dt dt i i
(1)质心的位置
设有n个质点组成的质点系，
质量分别为：m1,m2,…,mn . M mi
n
其质心的位矢是 rc 则 (m r ) Mr
n i 1 i i
各质点对参考点的位矢是
r1 , r2 ,, rn .
c
i 1
于是质心的位置:
rc ( m r i i)
rc
rdm

dm
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
质心和重心的区别
质心： 质点组的全部质量的中心.合质量矩的作用点.
重心： 作用于质点系的重力的合力的作用点. 二者不是同一点。 特殊地，在地球表面附近，认为重力加速度是 常矢量时，物体的质心和重心相互重合。
r ci
r i
质点mi在两系的位矢,速度,加速度关系为:
( e ) (i ) d r i 质点mi的运动方程: mi 2 F i F i dt ( e) (i ) d 2 rci mi 2 Fi Fi (mi r c) dt
2
vi vc vci ri rc r ci
(在静止系)
(在质心系)
三.质点组的运动方程
(1)质点组运动定律:
n d 2 ri (e) m F i i 2 dt i i

质心运动定律 2 n d rc M 2 Fi ( e) dt i
理 论 力 学
第二章 质点组力学
一.质点组
质点组： 由许多（有限或无限）相互联系着的
质点所组成的系统。
内力： 质点组中质点间的相互作用力。 外力： 质点组以外的物体对质点组内质点的作用力 。
(2)内力的性质
①质点组中所有内力之和(矢量和)等于零。 n n (i ) F f ij 0 i j i fij :第i质点对第j质点的作用力. ②质点组的所有内力对任一参考点的力矩之和 (矢量和)恒为零.


对于一般的质点组来说，由于其质点间的相 对位置可以改变，所以内力的功之和不等于零。 在质点组动能定理中,内力所作元功之和一般不能互相抵消, 因之质点组的动能也并不一定守恒； 对特殊的质点组—刚体来说,内力不作功,即内力所作元功之和为零.
二.质心 质心系
（在质点组的空间存在一个特殊点,叫做质点组的质心(质量中心), 以质心为参照称为质心系.)
r i f ij r j f ji r i f ij r j f ij r i r j f ij r ij f ij


其中: rij 是质点pi相对pj 的位矢,与 f 共线. ij