(a)
(b) 图2.1 力多边形
(c)
3
从图2—1b可见，在合成该平面汇交力的合力时，也可不必将中间力矢量
FR1 、 FR 2 一一求出。只需从力 F1 的终点B作出与力 F2 相等的矢量 BC ，再从
BC 的终点C作出一个与力 F3相等的矢量 CD ，最后从CD 的终点D作出一个与 F4 力相等的矢量力相等的矢量 DE 。连接 F1 的始点A与最后一个矢量的终点
FR F1 F2 Fn Fi
（2-1）
三、平面汇交力学平衡的几何条件
当力多边形自行闭合，即合力 FR 0，于是平面汇交力系平衡；反之，若平面汇 交力系平衡，即合力 FR 0。所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：力多边形 自行闭合，或平面汇交力系的合力等于0，即
例2.1 AC和BC两杆用铰链C连接，两杆的另一端分别铰支在墙上，如 图2-2(a)示。在点C悬挂重10kN的物体，已知AB=AC=2m,BC=1m,如杆重 不计，求两杆所受的力。 解（1）取销钉C为研究对象； （2）画销钉C的受力图，如图2-2（b)示； （3）作封闭力三角形，如图2-2(c)示。 由于封闭的力三角形与三角形ABC相似，故
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
例2-3 已知： AC CB, F 10 kN ,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链 A 的受力.
解：CD 为二力杆，取 AB杆，画受力图. 用几何法，画封闭力三角形.
求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
F
r
NA
当碾子刚离地面时NA=0, 这时拉力F和自重及
支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
F Ptg
NB P cos
2 (r h) 2 r 又由几何关系： tg 0.577 r h
按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
Fx F cos α F y F sin β
Fx Fx i , Fy Fy j
F Fx i Fy j
Fy Fx cos(F , i ) , cos(F , j ) F F F Fx Fy
(d)
FRx Fx FRy Fy
上式即为合力投影定理，即合力在任一轴上的投影，等 于其各分力在同一轴上投影的代数和。 上述投影定理不仅对力矢适用，对于其它矢量也同样成 立。根据式（1）可求得合力矢的大小和方向余弦为
FR FRx FRy ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 FRy FRx cos(FR , i ) , cos(FR , j ) FR FR
E，即矢量AE 即为平面汇交力系的合力。如图2-1c所示。多边形称为力多边形，
AE称为力多边形的封闭边。这种求合力的方法称为力多边形法，也称几何法。
上述求合力的方法可以推广到任意个平面汇交力系的情况，于是得到如下 结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合 力等于力系中各力的矢量和。即：
T1
T2
二、平面汇交力系合成的几何法
设有一个平面汇交力系 F1 、 F4作用于汇交点，如图2-1a F2、 F3、 所示。我们可以依次地应用力三角形法则来求该平面汇交力系的 合力。即先将力 F1与 F2合成为一个力 FR1，再将力FR1与 F3 合成 为一个力 FR 2，最后将力FR 2 与F4 合成，即得该平面汇交力系的合 力 F ，且合力的作用线通过汇交点，如图2-1b所示。 R
2 2
（2）
三、平面汇交力系的平衡方程 平衡条件 平衡方程
FR 0
F F
x y
0 0
（3）
即平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两 个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式（3）称为平面 汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两 个未知量。
这里要指出，为了避免利用式（3）解联立方程， 在选择投影轴时，最好使两投影轴其中之一垂直一 个未知量，这样可以使方程求解未知量简化；另外， 受力图中的未知力的指向未知，可以假设，若计算 结果为正值，表示假设指向与力的实际指向相同， 反之，若计算结果为负值，表示假设指向与力的实 际指向相反；同时，在后面计算中，则不必更正力 的负值符号，直接以负值代入方程计算。
FCA AC 1 P AB
解得 图2-2
FC B BC 1 P AB 2
FCA 10kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作 出封闭的力三角形后，由比例尺量得
FCA 10kN, FCB 5 kN
例2-2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
2 2
（1）
二.平面汇交力系合成的解析法
FR Fi
(a) (b) (c)
Fi Fxii Fyi j FR FR x i FR y j
将（b）代入（a）式，并注意i 和 j为常矢量，则有
FR ( Fxi )i ( Fyi ) j
（今后为了便于书写，将下标“i”省略。） 比较(c)、(d)等式两边，可得
FR Fi 0
求解平面汇交力系平衡问题的几何法的解题步骤： （1）选取研究对象； （2）画受力图；
(2-2)
（3）作封闭力多边形；
（4）求解未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量的大小和方向角，
或者用三角公式或者用平面几何知识来计算未知量。前者称为几何作图
法，后者称为半几何法，统称几何法。
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法 平面力对点之矩的概念与计算 平面力偶
武汉大学出版社
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一.平面汇交力系的概念 平面汇交力系：各力在同一平面内，作用线交于一 点的力系。
例：起重机的挂钩。 T