三角恒等变换导学案一、两角和与差的余弦公式1. cos(α+β)= 以-β代β得：2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例：cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105°（2）cos15°(3)cos(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°4. 已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.5．求cos75°的值6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β.二、两角和与差的正弦公式1、两角和的正弦公式：sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲：103sin 5sin 103cos 5ππππ-54⎝⎛⎪⎭⎫ππ,2135531352π3π6π3π6π求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β)8.化简2cos χ-6sin χ 解：我们得到一组有用的公式：（1）sin α±cos α=2sin =2cos .（3）sin α3±cos α=2sin =2cos（4）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ) 9、化简3cos χχsin -3252βαtan tan 312131545354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα三、两角和与差的正切公式（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= 2.新知tan(α+β)的公式的推导：(α+β)≠0tan(α+β) 注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。
2°注意公式的结构，尤其是符号。
（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求①tan(α+β),②tan(α-β), ③α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°例2：求下列各式的值： （1）（2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tan B +1，则cos(A +B )的值为 .31︒-︒+75tan 175tan 12.在△ABC 中，若0＜tanA ·tanB ＜1则△ABC 一定是 .3. = .四．二倍角的三角函数（1）（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式： sin(α+β)= (S βα+) cos(α+β)= (C βα+)tan(α+β)= (T βα+) (α,β, α+β≠k π+ ,Z ∈κ) (二)基本概念 2.二倍角公式的推导在公式（S βα+），（C βα+），（T βα+）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α= (S α2) cos2α= (C α2) tan2α= (T α2)注意：1°在（T α2）中2α≠ +κπ,α≠ +κπ(Z ∈κ)2°在因为sin 2α+cos 2α=1，所以公式（C α2）可以变形为cos2α= 或cos2α= (C ′α2) 公式（S α2），（C α2），（C ′α2），（T α2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。
（二）典型例题选讲： 例1不查表，求下列各式的值(1)( ) (2) (3) (4)1+2θθ2cos cos 2-例2求tan θ=3，求sin2θ-cos2θ的值例3已知sin (0＜θ＜ ),求cos2θ,cos( +θ)的值。
︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2π2π2π125cos 125sin ππ+)125cos 125(sin ππ-2sin 2cos 44αα-ααtan 11tan 11+--135)4(=-θπ4π4π二、sin α,cos α,sin α±cos α,sin α·cos α之间的关系例4已知sin θ+cos θ= , θ ,求cos θ,cos ·cos θ,sin2θ,cos2θ,sin θ, cos θ的值。
练习： 1.求值：（1）sin22°30’cos22°30’= （2）2 = （3） = （4） = 2.已知sin , ，求sin2α,cos2α,tan2α的值。
3.已知tan2α= ,求tan α的值。
五．二倍角的三角函数（2）【学习目标】1.熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：，这两个形式今后常用！要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力【学习过程】（一）预习指导 1.有关公式：51⎝⎛⎪⎭⎫∈43,2ππ18cos 2-π8cos 8sin 22ππ-12cos24cos 48cos 48sin 8ππππ135=α⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,23122cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-=（1） = ；（2） = ；（3） = ； （二）典型例题选讲： 1.化简：8cos 228sin 12+++2．利用三角公式化简：sin50°(1+︒10tan 3)3.若 ≤α≤ ，则ααsin 1sin 1-++等于 .4.4cos 2sin 22+-的值等于 .5.已知 ，则的值等于 . 6.求 的值。
一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）2sin 2α2cos 2α2tan 2α25π27π215sin -=χ)4(2sin πχ-︒-︒10cos 310sin 1A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．BC ．12-D ．12【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2016·9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-二、填空题【2011，16】在ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ．（2017·14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2013·15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________.三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ．（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长．（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .---精心整理，希望对您有所帮助。