..... ..... 第三章 三角恒等变换

1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角

例1.已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系. 解.∵π6＋α＋5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－π6＋α. ∴cos5π6－α＝cosπ－π6＋α ＝－cosπ6＋α＝－33，即cos5π6－α＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2.设α为第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，

代入到sin 3αsin α＝135中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin2α＋αsin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α

＝2cos2α＋cos 2α＝135. ∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2kπ＋3π2∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)， ..... ..... ∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，

∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 答案.－34 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3.已知sinπ4－x＝513，0

分析.转化为已知角π4－x的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现π4－x这个角的三角函数.

解.原式＝sinπ2＋2xcosπ4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋xcosπ4＋x ＝2sinπ4＋x＝2cosπ4－x， ∵sinπ4－x＝513，且0∴cosπ4－x＝ 1－sin2π4－x＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413. 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角 例4.求函数f(x)＝1－32sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值. 分析.观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x).

解.f(x)＝1－32sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°]

＝12sin(x－20°)－32sin(x－20°)－cos(x－20°)cos 60°＋sin(x－20°)sin 60° ＝12[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝22sin(x－65°)， ..... ..... 当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值22.

2.三角恒等变换的几个技巧 三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂

例1 3－sin 70°2－cos210°＝________.

解析.3－sin 70°2－cos210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.

答案.2 点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如

cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－12sin22θ，等等. 二、化平方式 例2 化简求值： 12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)).

解.因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0， sinα2>0，故原式＝ 12－12 1＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin2α2＝sinα2. 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α、2sin2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角

例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.

解析.cos(2π3＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1＝2sin2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79. 答案.－79 点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余. ..... ..... 四、构造齐次弦式比，由切求弦 例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.

解析.cos 2θ1＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＋2sin θcos θ

＝1－tan2θ1＋tan2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×－12＝3414＝3. 答案.3 点评.解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘 以2nsin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n－1·α的值

例5 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值.

解.原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11

＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11

＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11 ＝sin π1125sin π11＝132. 点评.这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可. 3.聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解 例1.求函数f(x)＝sin4x＋cos4x＋sin2xcos2x2－sin 2x的最值. ..... ..... 解.原函数变形得f(x)＝sin2x＋cos2x2－sin2xcos2x2－sin 2x

＝1－14sin22x2－sin 2x＝1＋12sin 2x1－12sin 2x21－12sin 2x ＝14sin 2x＋12.∴f(x)max＝34，f(x)min＝14. 例2.求函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 解.原函数化简得y＝sin 2x＋cos 2x＋2

＝2sin2x＋π4＋2.

当2x＋π4＝2kπ＋32π，k∈Z，即x＝kπ＋58π，k∈Z时，ymin＝2－2. 此时x的集合为{x|x＝kπ＋58π，k∈Z}. 点评.形如y＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝Asin(2ωx＋φ)＋B的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解

例3.求函数y＝2sin x＋12sin x－1的值域.

解.原函数整理得sin x＝y＋12y－1. ∵|sin x|≤1，∴y＋12y－1≤1，解出y≤13或y≥3. ∴函数的值域为{y|y≤13或y≥3}. 例4.求函数y＝sin x＋3cos x－4的值域. 解.原函数整理得sin x－ycos x＝－4y－3， ∴y2＋1sin(x＋φ)＝－4y－3，∴sin(x＋φ)＝－4y－31＋y2.

∵|sin(x＋φ)|≤1，解不等式－4y－31＋y2≤1得 －12－2615≤y≤－12＋2615.

点评.对于形如y＝asin x＋bcsin x＋d或y＝asin x＋bccos x＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值. ..... ..... 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5.设关于x的函数y＝cos 2x－2acos x－2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.

解.y＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)＝2cos x－a22－a22＋2a＋1.

当a2<－1，即a<－2时，f(a)＝ymin＝1，此时cos x＝－1. 当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，f(a)＝ymin＝－a22－2a－1，此时cos x＝a2. 当a2>1，即a>2时，f(a)＝ymin＝1－4a，此时cos x＝1.

综上所述，f(a)＝ 1a<－2，－12a2－2a－1－2≤a≤2，1－4aa>2. 点评.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数可转化为二次函数y＝at2＋bt＋c在区间[－1，1]上的最值问题解决. 例6.试求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最值. 解.设sin x＋cos x＝t，t∈[－2，2 ]，则2sin xcos x＝t2－1，原函数变为y＝t2＋t

＋1，t∈[－2，2 ]，当t＝－12时，ymin＝34；当t＝2时，ymax＝3＋2. 点评.一般地，既含sin x＋cos x(或sin x－cos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x＋cos x＝t，则sin xcos x

＝12(t2－1)；sin x－cos x＝t，则sin xcos x＝12(1－t2). 四、利用函数的单调性求解 例7.求函数y＝1＋sin x3＋sin x2＋sin x的最值.

解.y＝sin2x＋4sin x＋3sin x＋2＝sin x＋22－1sin x＋2 ＝(sin x＋2)－1sin x＋2， 令t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，y＝t－1t. 利用函数单调性的定义易证函数y＝t－1t在[1，3]上为增函数. 故当t＝1，即sin x＝－1时，ymin＝0；