第五章 线性微分方程组[教学目标]1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。

3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。

5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。

[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。

[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。

2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义 考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。

方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3）这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。

注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。

这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式()()x A t x f t '=+ （5.4）引进下面的概念。

一个矩阵或者一个向量在区间a t b ≤≤上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间a t b ≤≤上的连续函数。

一个n n ⨯矩阵()B t 或者一个n 维列向量()u t ：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n u t u t u t u t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦在区间a t b ≤≤上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间a t b ≤≤上可微。

它们的导数分别由下式给出：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦ 12()()()()nu t u t u t u t '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ 不难证明，如果n n ⨯矩阵()A t ，()B t 及n 维向量()u t ，()v t 是可微的，那么下列等式成立：（Ⅰ）()()()()()A t B t A t B t '''+=+()()()()()u t v t u t v t '''+=+（Ⅱ）()()()()()()()A t B t A t B t A t B t '''⋅=+ （Ⅲ）()()()()()()()A t u t A t u t A t u t '''=+类似地，矩阵()B t 或者向量()u t 在区间a t b ≤≤上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间a tb ≤≤上可积。

它们的积分分别由下式给出：1112111222112()()()()()()()()()()b bbn a a a bbb bn a aa a bbb n nn a aa b t dtb t dt b t dt b t dt b t dtb t dt B t dt b t dt b t dtb t dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12()()()()b a b b a a b n a u t dt u t dt u t dt u t dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 现在我们给出（5.4）的解的定义：定义１设()A t 是区间a t b ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，()f t 是同一区间a t b ≤≤上的连续n 维向量。

方程组()()x A t x f t '=+ （5.4）在某区间t αβ≤≤（这里[][],,a b αβ⊂）的解就是向量()u t ，它的导数()u t '在区间t αβ≤≤上连续且满足()()()()u t A t u t f t '=+，t αβ≤≤现在考虑带有初始条件0()x t η=的方程组（５.４），这里0t 是区间a t b ≤≤上的已知数，η是n 维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。

定义2 初值问题()()x A t x f t '=+,0()x t η= （5.5）的解就是方程组（5.4）在包含0t 的区间t αβ≤≤上的解()u t ，使得0()u t η=。

例2 验证向量()t t e u t e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是初值问题0110x x ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,1(0)1x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦在区间t -∞<<+∞上的解。

解 显然001(0)1e u e --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为te -和te --处处有连续导数，我们得到0101()()1010t t t t e e u t u t e e ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 因此()u t 是给定初值问题的解。

正如在第而章所看到的，当1n =时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当2n ≥时，情况就复杂多了。

在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n 阶线性微分方程的初值问题。

现在进一步指出，可以通过下面的方法，将n 阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。

考虑n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()()()()(),(),,()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ （5.6）其中12(),(),,()n a t a t a t ，()f t 是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,,n ηηη是已知常数。

我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题121120010000010000001()()()()()()n n n n x x a t a t a t a t f t x t ηηηη--⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪'⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎨⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥==⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩(5.7)其中12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12nx x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦事实上，令(1)123,,,,n n x x x x x x x x -'''====这时12x x x ''== 23x x x '''==(1)1n nn x x x --'==()1121()()()()n nn n n x x a t x a t x a t x f t -'==----+而且(1)010*******()(),()(),,()()n n n x t x t x t x t x t x t ηηη-'======现在假设()t ψ是在包含0t 的区间a t b ≤≤上（5.6）的任一解。

由此，得知()(),(),,()n t t t ψψψ'在a t b ≤≤上存在、连续、满足方程（5.6）且(1)01020(),(),,()n n t t t ψηψηψη-'===。

令12()()()()n t t t t ϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1()()t t ϕψ=,2()()t t ϕψ'=,,(1)()()n n t t ϕψ-=(a t b ≤≤)，那么，显然有0()t ϕη=。

此外，1223(1)1(1)()12311()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n t t t t t t t t t t t a t t a t t f t t t t t a t t a t t f ϕϕψϕϕψϕϕϕψϕψψψϕϕϕϕϕ---''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=---+1211210100()00010()00001()0()()()()()()()n n n n t t t t a t a t a t a t t f t ϕϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦这就表示这个特定的向量()t ϕ是（5.7）的解。