第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、 目的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法 •二、 重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式 ，特征根，特征向量的概念•四、 教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法 •五、 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合 •六、 教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组 （3.8）的通解问题，归结到求其基本解组 •但是对于一般的方程组（3.8），如何求出基本解组，至今尚无一般方法•然而对于常系数线性齐次方程组AY （3.20）dx其中A 是n n 实常数矩阵，借助于线性代数中的约当Jordan ）标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n 矩阵A ，恒存在非奇异的n n 矩阵T ，使矩阵T 」AT 成为约当标准型.为此，对方程组（3.20）引入非奇异线性变换Y =TZ(3.21)其中 T =(t j )(i,j =1,2, ||),n), detT =0,将方程组(3.20)化为dZ-T 4ATZdx我们知道，约当标准型 T 4AT 的形式与矩阵A 的特征方程a11 一 人a12川 amdet(A - 2-E)=a21+ +a 22 — hVF川 a2n4 4=0(3.22)a n1an2HI a nn -丸的根的情况有关•上述方程也称为常系数齐次方程组 (3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论•(一)矩阵A 的特征根均是单根的情形设特征根为'i,'2,lH,'n,这时方程组(3.20)变为电］dx | dz 2dx+ +dZ n -dx _(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解r. t .r.Y(x)二 e" ?玄气I+」ni -T 」AT -'20严［乙(x) = 0 e 农Z 2(x)二 0 e 护川，Z n (x) =e'n x(i =12川,n)Z 2这里T是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量，并且由线性方程组(A- i E)T i =0所确定.容易看出，Y1(x),Y2(x),川,Y n(x)构成(3.20)的一个基本解组,它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = detT = 0 .于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异，且人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量，则¥(x)二e ix T i,Y2(x) =e2工川|,Y n(x) =e%是方程组(3.20)的一个基本解组例1试求方程组化—x+5y-zdtdzx -dt的通解.解它的系数矩阵是3 -1 1A= -1 5 -13 -1 3_特征方程是3 _ 九_1det(A_ 丸E)= -1 5—九3 -1因为dxdty 3z1-1=03—扎a,b, c满足方程門-1 (A-人E) b = -1'cj J -13-1：］［：］=01丄cja「b c = 0* —a + 3b _ c =a-b +c = 0可得a - -c,b = 0.取一组非零解，例如令 c = -1，就有a = 1,b = 0,c = -1 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是■1 1-1］'1 10,丁2 =1 , 丁3 =_2〕T 一- 1J故方程组的通解是「x(t)［2t y(t) =Ge 'z(t) j ■11 -'11 1 |+C3e6t_2_1 J(二)常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dYdx归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题.现在考虑复根情形.因为矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设人,2=。

士护是一对共轭根，由定理(3.20)A是实的3.11，对应解是3 2-11 •36'；—36 = 0所以矩阵A的特征根为■ 1 = 2,乜=3,九3 = 6 .先求九1 = 2对应的特征向量■1 10 +c2e3t'-1jY(x)=e 〃T i ,场⑴“工其中壬兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组( 3.20)的实值解，这可由下述方法实现.定理3.12如果实系数线性齐次方程组有复值解Y(x) =U(x) iV(x)其中U(x)与V(x)都是实向量函数，则其实部和虚部M (X )证明 因为Y(x) =U(x) • iV(x)是方程组(3.8)的解，所以jx) iV(x)卜叫© i 也x) dxdx dx三 A(x)[U (x) iV(x)]三 A(x)U(x) iA(x)V(x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dU^ =A(x)U(x) , dV ^=A(x)V(x) dx dx即U (x) ,V (x)都是方程组(3.8)的解证毕.定理3.13如果^(x),Y 2(x)^|,Y n (x)是区间(a,b)上的n 个线性无关的向量函数，d,b 2是两个不等于零的常数，则向量函数组dM(x) %(x)], b 2“(x)-Y 2(x)], Y 3(X ),川,Y n (x)(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.dY dx=A(x)YU (x)二U i (x)U 2(x) V(x)二V i (x)V 2(x)证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数C 1,C 2Jh ，C n，使得对区间(a,b)上的所有x 皆有Gb i [Y(x) +Y 2(x)] +C 2b 2【Y(x)-丫2(刃]+C30X )+ 川+ C"n (x)三0所以(Gb i +C 2b 2)丫(x) +(Gb i -C 2b 2)丫2(X )+。

3丫3(口+川 +Cn=(X )三 0因为丫(x),丫2(x)川IM(x)线性无关，从而C 1b 1 C 2b 2= 0, Gb| - C 2b 2=0, C 3= 0,1 |l ,C n= 0从上式可知，C 1b i = C 2b 2 =0，因为bi,b 2=0,故G=C 2=0•即所有常数G,C 2,IH,C n 都 等于零，矛盾•证毕.由代数知识知,实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现•即，如果’=a ib 是特征根，则其共轭’二a-ib 也是特征根•由定理3.11，方程组(3.20)对应于’=a ib 的复值解 形式是Y (x) (a -4b)^ (a"iib)x=e J 二 e= e (a ib)xt21Jn1it22■ ■it n2二 e ax(cosbx i sin bx)axt 11 it 12tn cosbx 讥 sin bxcosbx tn sin bxt 21cosbx —t 22sin bx axt 22cosbx +t 21sin bx• +ie * t n1cosbx -t n2sin bxt n2cosbx t n1sin bxt2t21it22n2这里T 1是对应于，二a ib 的特征向量•由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方 程组(3.20)对应于特征根「=a-ib 的解，记作Y 2(x)=由加工,T 2 .现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为t 11 cosbx-112 sin bx ax t 21 cosbx —122 sin bx e:I I t n1 cosbx - t n2 sinbxt 12cosbx t 11 sinbx ax t 22 cosbx t 21 sin bx e :I I _t n2 cosbx t n1sin bx 由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基 本解组.例2求解方程组dx一 =x _ y _ z dt解它的系数矩阵为1 —1 -1 A = 1 10 ■3 01 j特征方程是1—&-1 -1 det （ A — ）= 11 一九 0 31-丸即1Yi (x) Y2 (x)]1和丫1(x) - 丫2(x)]dz、dt=3x z（，一1）（2一2「5） =0 特征根为加=1,丸2,3 =1 ±2i先求'^1对应的特征向量为■01「= 1T」再求-1 2i所对应的特征向量T2.它应满足方程组］「2i -1(A—(1+2i) E )T2= 1 -2i'3 0_2ia - b - c = 0a -2bi =03a -2ci 二0用2i乘上述第一个方程两端，得4a -2bi -2ci =0a -2bi =03a - 2ci = 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和 •故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即a-2bi =0 3a -2ci =0L求它的一个非零解•不妨令a =2i,则b =1,c = 3.于是 2i 对应的解是一2门一2门「-2sin 2t ["2cos2t ]e (H2i )t1 =d (cos2t +i sin2t)1 t =ecos2t + ie tsin2t - 3一 i3 一13cos2t13sin2t 一故原方程组的通解为(三)矩阵A 的特征根有重根的情形 由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量 •然而，当矩阵 A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若 ■ i 是A 的k i重特征根，则由齐次线性方程组(A - i E )T i 二 0所决定的线性无关特征向量的个数i, 一般将小于或等于特征根 、的重数k i .若i = k i ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与i K ，由线性代数的知识，此时也可以求出k i 个线性无关的特征向量， 通常称为广义特征向量， 以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵 A 化成若当标准型「x(t)]一0〕 y(x) =C 1e t 1+C 2e t〕z(x)j.-l j]「2sin2t2cos 2t cos2t +C 3e t si n2t]3cos2t _] 3sin 2t _J 2+hqJm其中未标出符号的部分均为零无素，而「站1 0【J 严.彳 (i=12lH,m)\ 1此相同.Jm根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组•为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组 (3.20)的基本解组所应具有的结构•对于一般情形，其推导是相似的设方程组d Y =AY Dx中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换 Y =TZ 其中T = (t ij )(i, j =1,2,II 丨,5)且det T - 0 , 将方程组(3.26)化为d Z JZ(3.27)dx我们假定T -1AT 二 是k i 阶约当块, 匕k 2川心=n,'I, '2,111, 'm 是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼于是，在变换 (3.21)下方程组(3.20)化成d Z dxJ 1I J 2(3.25)(3.26)■10 ■1「°■2 0这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组也、=上 1 z*i +Z2 dxdz2 dx dz3 (3.28 ), 人Z3 dxdz4一二’2Z4 - Z5dx dz5 (3.29 )在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得z^ = C3 x2C2x C12! 2 1Z2 =(C3x+C2)e"Z3 二C3e 1X同样对(3.29)可解得Z4 =(C5X C4)e'2xZ5 二C5e护这里G,C2,III,C5是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现乙，Z5,在(3.29)中不出现Z| , Z2 , Z3 •我们依次取G = 1,C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = 0 C i =0,C 2 =1,C 3 =C 4 =C 5 =0 C i = C 2 = 0, C 3 = 1, C^ = C 5 = 0 C i = C 2 = C 3 = 0, C 4 = 1,C 5 = 0 C i = C 2 = C 3 = C 4 =0,C 5 =1可以得到方程组(3.27)的五个解如下从而是方程组(3.27)的一个解矩阵.又det Z (0) =i = 0 ,所以(3.3i)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵•而(3.30)是(3.27)的一个基本解组•现在把(3.30) 的每个解分别代入到线性变换 Y = TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，tie 巧 (t i -x + t d/t 2i e 沁住必+上2)e ixt“e 淤 ，Y 2 = (t 3i x + t 3)e" t 4i eZx(t4/+t 4)町ge 匕 1 i.(t si x+t 5)/lY i2! L Xxe ie'i x■0 1■ 0 1 00 0 ,Z 5 = 0 e"xe"-X x■ \xe 乱xe 2x 胁 ——e 0 0〕0 e 几2!J i X 0 0xeZ (X )= 0 00 0e0 0e» xe Zx0 0(3.3i)乙ix ix Z 3Z 4^x 2 +t i2X+t i3)e*x(》x 2 +t 22X +t 23)e^ =(|fx 2+t 32X+t 33)0(t^X 2U2X +t 43)e"[知2 +t 52X+t 53)0而且这五个解构成方程组的一个基本解组 •这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式Y (x) =[ Y I (X ), Y 2(X ), Y 3(X ),Y 4(X ), Y 5(X )]则显然有det Y (0) = T H 0.至此我们已清楚地看到， 若J 中有一个三阶若当块， 、是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，巾 i (x)1P 2i ( X)Y i (x)= P 3i (x) e" =1,2,3P 4i ( X) '.P 5i (x) _|其中每个p ki (x)(i =1,2,3, k =1,2,3,4,5)是x 的至多二次多项式•因此(3.32)也可以写成如下 形式(R 0R 1x R 2x 2)e 1X其中R 0, R 1, R 2都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，’2是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R 3 R 4x)e 2X其中R 3, R 4也都是五维常向量◎叭f 「gx + tJeE] t 24*x住24%池5)代t 34e 护 ,丫5 = 住34%池5归护七44少(t 44X + t 45)"Xge 护-i i(3.32)，丫4最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若■ i是A的一个k i重特征根，则■ i所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于k，而且这些阶数的和恰好等于k i.这样，由以上分析我们得到定理3.14 设’1, '2川|,-m是矩阵A的m个不同的特征根，它们的重数分别为匕*2川|,匕.那么，对于每一个'i，方程组(3.20)有K个形如Y i (x) = R (x)e", Y 2(x) = P2(x)e x J||, Y k (x) = (x)e“的线性无关解，这里向量P i(x)(i =1,2，川，kJ的每一个分量为x的次数不高于k i -1的多项式.取遍所有的i(i =1,2川l,m)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论弓I理3.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为打(i =1,2,川，m)，其重数分别是，匕山，lH,km(k「k2 • III • km二n),记n维常数列向量所组成的线性空间为V，贝y(1)V的子集合k -V j ={ R (A-\ E) j R= 0, R^V}是矩阵A的k j(j =1,2，川,m)维不变子空间，并且(2)V有直和分解V “1 二V^l :. V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组定理3.15 如果■ j是（3.20）的％重特征根，则方程组（3.20）有个％形如k：jY（x）=（R 0 R 必 ||| R k j jx ）e （3.33）的线性无关解，其中向量R o, RR叫」由矩阵方程（A —対E）R o = R1（A -砂）R, =2R2（3.34）（A-1：E ）R kj—1）R 甘’A-対E）j R o=O所确定•取遍所有的‘（j =1,2,|H，m），则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若■ j是（3.20）的$重特征根，则对应解有（3.30）的形式•将（3.33）代入方程组（3.20 ）有[R1 2R2^1! （k j -1）R k j」x kj pe'jX-j（R0 RR k j」x k j—1）e'jX=A（R0 R必H「R k j」x kj」）e'jx消去e j X，比较等式两端x的同次幕的系数（向量），有f（A - 対E）R 0 = R1（A -坷E）R 1=2R2弋iiiinHim （ 3.35）（A-》「j E ）R —=（k j-1）R —（A-?3 E ）R — = 0注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同.（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出R 0，再依次利用矩阵乘法求出R 1,RR 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的j (j =1,2,III ，m)，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量， 再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解•记这n 个解构成的解矩阵为 Y (x)，显然，Y (0) 是由(3.34)最下面的方程求出的 n 个线性无关常向量构成， 由引理3.1的2)矩阵Y (0)中的各 列构成了 n 维线性空间V 的一组基，因此det Y (0) = 0，于是Y (x)是方程组(3.20)的一个基 本解组.例3求解方程组dx解系数矩阵为特征方程为(■ -2)(' 1)2 =o特征根为’1 =2,鼻=I = -1.其中=2对应的解是F 面求’2二‘3二T 所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如Y 1(x)二二 丫2 丫32xY (x) =( R o R i x)e-并且R o , R i 满足(A+E )R o 二 R i (A + E )2R o=O由于1 1 13 3 3 (A + E )=1 1 1 , (A + E )2 =3 3 3.1 1 1_Q 3 3一那么由(A + E )2R 0=0可解出两个线性无关向量最后得到通解例4求解方程组将上述两个向量分别代入(A + E )R 0= R 1中，均得到R 1为零向量.于是' 2 = ' 3 = -1对应的两个线性无关解是■-11Y 2(X )= 1 e〕0」-XY 3(x) = f eJ j-X2x Y (x) =Ge 1 +C 2e2x-X1 |+C3ej]I 0J j3 1 -1A =-1 2 1 .111 一特征方程为 仏-2) =0 ,有三重特征根 人,2,3 =2由定理3.15，可设其解形如2 2 xY (x) =(R o R 必 R 2X )eR o > R 1 >R 2满足方程组1( A - 2 E ) R o 二 R 12(A- 2E ) R 广 R 23(A - 2E ) R o 二0由于-j 1 -11[-1 0 1 ][0 0 0l(A — 2E)= -1 0 1,(A — 2E )2 =0 0 0 3,(A — 2 E)= 0 0 01 1一1 一iT 0 LL0 0 0一故R 0可分别取「010 ■1j解系数矩阵是dy 1小-=3力 y 2 -丫3 dxdx -_y i2y 2 y3dy 3y i y 2 y 3dxo]， [0〕，再将它们依次代入上面的方程，相应地求得R1为］匸2二一■01丁21^2一于是，可得原方程组三个线性无关解一们11一20+-1x +0i。