直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b .其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα⊂⊄ B.b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α⊂b D .α//b 或α⊂b 9. 下列命题正确的个数是10.（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α（2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥αA.0个B.1个C.2个D.3个11.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交12.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交13.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF，证明如下：方法一：三角形中位线连接CG交DE于点H，如图所示.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG.∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二：平面平行的性质∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.14.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.证明平行四边形的性质，平行线的传递性（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 21DC ， 又D 1G 21DC ，∴OED 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .15. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1C.证明 方法一：平行四边形的性质 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1中点， ∴NF ∥B 1C 1，且NF =21B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1 BC ， 又M 是BC 的中点， ∴NF MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形. ∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法二：三角形中位线的性质 连接AM 交C 1C 于点P ，连接A 1P ， ∵M 是BC 的中点，且MC ∥B 1C 1， ∴M 是B 1P 的中点， 又∵N 为A 1B 1中点，∴MN ∥A 1P ，又A 1P ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法三：平面平行的性质设B 1C 1中点为Q ，连接NQ ，MQ ， ∵M 、Q 是BC 、B 1C 1的中点，∴MQ CC 1，又CC 1⊂平面AA 1C 1C ， MQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MQ ∥平面AA 1C 1C .∵N 、Q 是A 1B 1、B 1C 1的中点，∴NQ A 1C 1，又A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，NQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴NQ ∥平面AA 1C 1C .又∵MQ ∩NQ=B ，∴平面MNQ ∥平面AA 1C 1C ， 又MN ⊂平面MNQ ∴MN ∥平面AA 1C 1C.16. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD .方法一：平行四边形的性质过E 作ES ∥BB 1交AB 于S ，过F 作FT ∥BB 1交BC 于T ，连接ST ，则11AE ESAB B B =，且11BF FT BC C C = ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴AE=BF∴11ES FT B B CC =，∴ES=FT 又∵ES ∥B 1B ∥FT ，∴四边形E FTS 为平行四边形.∴EF ∥ST ，又ST ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 方法二：相似三角形的性质连接B 1F 交BC 于点Q ，连接AQ ， ∵B 1C 1∥BC ，∴1111B F C F B Q C B =∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴1111B E B FB D B Q=∴EF ∥AQ ，又AQ ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 方法三：平面平行的性质 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .17. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解 面面平行的判定 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 直线与平面平行的性质定理18. 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)解 设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形， ∴4x CB CF =.则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x .从而FG =6-x 23.∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 23)=12-x .又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.19. 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长.（1）证明 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例方法① 当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC =AC ，平面β∩平面ABDC =BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.方法② 当AB 与CD 异面时， 设平面ACD ∩β=DH ，且DH =AC . ∵α∥β，α∩平面ACDH =AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH =CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF =G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解三角形中位线如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME =21BD =3，MF =21AC =2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF =60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得，EF =EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF =7或EF =19.20. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ . 求证：PQ ∥平面BCE . 证明 方法一：平行四边形的性质 如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE =BD . 又∵AP =DQ ，∴PE =QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴AEPE AB PM =，BD BQ DC QN =，DC QNAB PM =，∴PM QN ，∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法二：相似三角形的性质如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ，∵AE =BD ，AP =DQ ， ∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQDQ① 又∵AD ∥BK ，∴BQ DQ =QKAQ②由①②得PE AP =QKAQ，∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ， 连接QM .∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ， 即PM ∥平面BCE ，∴PE AP =MBAM①又∵AP =DQ ，∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQDQ②由①②得MBAM =BQ DQ，∴MQ ∥AD ， ∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE .又∵PM ∩MQ =M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .21. 如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ； （2）求线段MN 的长.（1）证明：方法一： 相似三角形的性质 连接AN 并延长交BC 于Q ， 连接PQ ，如图所示.∵AD ∥BQ ，∴△AND ∽△QNB ， ∴NQ AN =NB DN =BQ AD =58， 又∵MA PM =ND BN =85， ∴MP AM =NQ AN =58，∴MN ∥PQ ， 又∵PQ ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .方法二：平行四边形的性质如图所示，作MQ ∥AB 交P B 于Q ，作NR ∥AB 交BC 于R ，连接QR.∵MQ ∥AB ∥NR ， ∴PM MQ PAAB=，NR BN DCBD=，又∵PM BNMA ND=，∴MQ NR ， ∴四边形MNRQ 为平行四边形，∴MN ∥QR. 又QR ⊂平面P BC ，MN ⊄平面P BC ， ∴MN ∥平面P BC .方法三：平面平行的性质如图所示，在平面ABP 内，过点M 作MN ∥P B ，交AB 于点O ，连接ON.∵MO ∥P B ，MO ⊄平面P BC ，PB ⊂平面P BC 即MO ∥平面P BC ， ∴AM AP=AO AB又∵MA PM =ND BN =85， ∴AO AB=DN DB,∴NO ∥AD ，∴NO ∥BC ，又∵NO ⊄平面P BC ，BC ⊂平面P BC ∴NO ∥平面P BC . 又∵MO ∩NO=O ，∴平面MNO ∥平面P BC ， MN ⊂平面MNO ，∴MN ∥平面P BC .（2）解 在等边△PBC 中，∠PBC =60°，在△PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQ cos ∠PBQ=132+2865⎪⎭⎫⎝⎛-2×13×865×21=642818，∴PQ =891， ∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ =8∶13，∴MN =891×138=7.。