第15课分式方程与无理方程
目的：复习分式方程和无理方程的概念和解法．
中考基础知识
1．分式方程：分母含有_______的方程．
2．分式方程的解法：
（1）分式方程转化为______方程来解；
（2）分式方程转化为______方程为解．
3
（1）无理方程转化为_________方程来解；
（2）无理方程转化为_________方程来解．
4x的取值范围扩大了，可能会出现_____根，因此在解无理方程和分式方程时必须______根，解分式方程是代入________去分母验根，解无理方程是代入______验根．
备考例题指导
例1．解方程31
1
x
x
-
+
-
2
1
x
x
-
-
=1+
2
2
1
x-
．
解：分解分母：31
1
x
x
-
+
-
2
1
x
x
-
-
=1+
2
(1)(1)
x x
-+
，
方程两边同乘以（x+1）（x-1）（这一步是关键）
得（3x-1）（x-1）+（2-x）（x+1）=（x+1）（x-1）+2，化简得x2-3x+2=0，
（x-2）（x-1）=0，
x1=2，x2=1．
检验：把x1=2，x2=1分别代入（x+1）（x-1）
当x1=2时，它不等于0，当x2=1时，它等于0
∴得x=1是原方程的增根，x=2是原方程的根．
∴原方程的解是x=2 （一定要验根）
例2．解方程
2
2(1)
1
x
x
+
+
+
2
6(1)
1
x
x
+
+
=7．
分析：直接去分母难度较大，宜用换元法．
解：设
21
1
x
x
+
+
=y，则原方程转化为方程：
2y+6
y
=7，去分母得2y2-7y+6=0，
解之得y1=3
2
，y2=2．
当y=3
2
时，有
21
1
x
x
+
+
=
3
2
，解得x1=
3
4
+
，x2=
3
4
-
．
当y=2时，有
21
1
x
x
+
+
=2，解得x3x4=1
经检验：x1，x2，x3x4
例3-2x+1=0．
=2x-1，
（想一想为什么要这样移项）
平方，得4x+1=（2x-1）2，
解之得x1=0，x2=2．
把x1，x2代入原方程检验得，x1是原方程的增根，x2是原方程的根．∴原方程的解为x=2．
例4．解方程3x2-6x-+4=0．
分析：采用例3方法会出现难解的高次方程，因此可用换元法．
解：变形，3x2-8=0．
=y，则原方程变为：3y2-2y-8=0，
解之得y1=2，y2=-4
3
（不合算术根定义，舍去）
=2，解之得x1=0，x2=2．
经检验：x1，x2都是原方程的解；
∴原方程的根为：x1=0，x2=2．
注：这个方程也可用因式分解法降次求解：
3（x 2-2x+4）-8=0
备考巩固练习
1．填空题
（1）若解分式方程
21x x +-21m x x ++=1x x
+会产生增根，则m 的值为________． （2）（2005，盐城）用换元法解方程（1x x +）2-5（1x x +）+4=0时，可设1x x +=y ，则原方程可化为________．
（3）解无理方程2x =5=y ，则原方程转化为_________．
（4=x-2m 有一个根是x=1，则实数m 的值是_______．
2．解下列方程（组）
（1）
2484x x ---1=212x x --； （2）（2005．哈尔滨市）2x x --32
x x -=2；
（3
-1=x ； （4）（2004，内江市）21x ++21x -+214x x -=316
;
（5
）22,2.
x y y -=-⎧⎪=
3．（2005，宁波）已知关于x 的方程
2a x -=33bx -解是x=2，其中a ≠0且b ≠0，求代数式
a b -b a
的值．
答案:
1．（1）去分母同乘以x（x+1）得2x2-（m+1）=（x+1）2 令x=0，则m=-2，令x=-1，则m=1
∴m=-2或m=1
（2）y2-5y+4=0 （3）y2-y-6=0 （4）0 2．（1）4-8x-x2+4=-（2x-1）（x+2）
x2-5x+6=0
x1=2（舍去）x2=3
（2）x1=-1，x2=1
（3
=x+1，1-3x=x2+2x+1
x2+5x=0，x1=0，x2=-5（舍去）
（4
）1
2
3
3
x
x
⎧=+
⎪
⎨
=-
⎪⎩
或
3
4
3,
1
.
3
x
x
=
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
（5）将x=2y-2
2y+4=4-4y+y2，y2-6y=0，y1=0，y2=6（舍），把y=0代入①得x=-2
∴
2
0 x
y
=-⎧
⎨
=⎩
3．
7 12。