xy (2) 1 2 . 33
9
专题四 分解因式
【例5】判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：
(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;
(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;
(3)x2-6x+9=(x-3)2
(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2. 【答案】(1)不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式；
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8
【归纳拓展】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，
而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差
的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公
式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
【配套训练】 (1)求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解；
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4
【归纳拓展】幂的运算性质包括同底数幂的乘方、幂的乘方、
积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式
乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而
培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
【配套训练】1.下列计算不正确的是（ D ）
A.2a3 ÷a=2a2
B. (-a3)2=a6 C. a4 ·a3=a7 D. a2 ·a4=a8
第十四章
学练优八年级数学上（RJ） 教学课件
整式的乘法与因式分解
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课堂训练
1
知识网络 知识网络
乘法公式 （平方差、完全平方公式）
相反变形
形特
式殊
幂
的
相反变形
因式分解
运
整式的乘法
算
（提公因式、公式法）
性
运互
质
算逆
整式的除法
2
专题复习 专题复习
专题一 幂的运算性质
【例1】计算(2a)3(b3)2÷4a3b4. 【解析】幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除. 【答案】原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
（2）已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.
【答案】(1)原方程可化为-5x+5=0,解得x=1.
(2) ∵x2+9y2+4x-6y+5=0,
∴(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，
∴(x+2)2+(3y-1)2=0.
2020/3/27 ∴x+2=0,3y-1=0,解得x=-2, y= 1 3,
b ab
b2
a
a
图②
b
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15
（1）请写出图③所表示的代数恒等式；
（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示
（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.
b b2 ab
ab
【答案】(1) (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2;
ab
(2)如图④.
a a2
ab
a2
b ab
b2
a
ab
图③
b b2 ab b2 b2 a a2 ab ab ab
图④
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课堂小结 课堂小结
幂的运 算性质
① am ·an=am+n ②(am)n=amn ③ (ab)n=anbn
④am÷an=am-n
(m,n都是正整数）
整式乘除与 因式分解
整式的 乘除法
① 单×单 ② 单×多 ③ 多×式 •单÷单 ⑤ 多÷单
b
b
b
a
bb a-b
a
a
a
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【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴 影 部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图 的梯形的上底是是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积是 （2a+2b)(a-b) ÷2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式 a2-b2=(a+b)(a-b). 【答案】a2-b2=(a+b)(a-b). 【点拨】数形结合思想是一种重要的数学思想，它为验证某些 公式提供了方便. 【归纳拓展】通过应用公式，我们可以把实际问题转化为数学 问题，提高了数学的应用性.
（2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算；
（3）是；
（4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形.
这种方法叫赋值法.是一种比较好的方法，希望掌握！
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【点拨】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件， 第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几 个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； （2）判断过程要从左到右保持恒等变形.
（2）分解因式：（x+y)2-4(x+y-1). 解：原式=（x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y-2)2.
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专题五 实际问题转化为数学模型
【例6】如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方
形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分
的面积，验证公式是
.
b
【例4】先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中x=3,y=1.5. 【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的， 再计算整式的除法运算. 【答案】原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x
=(2x2-2xy) ÷2x =x-y. 当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.
2. (1)计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301；
（2）比较大小：420与1510. 【答案】（1）原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；
（2） ∵420=（42）10=1610，1610>1510, ∴420>1510.
等于（ B ）
A. 3y2
B. 9y2 C. y D. 36y2
3.
如果a+
1 a
=3,那么
a2+
1 a2
=
7
.
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4.已知
a 7252
,
b
25 44
,求（a+b）2-(a-b)2的值.
解: (a+b)2-(a-b)2
=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
=2a·2b
=
2 3
xy
2 3
.
当x=1,y=3时，原式=
2 xy 2 2 1 3 2 4
3
33
33
.
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【归纳拓展】整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项
式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多
项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，
必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算
3
【例2】计算(-8)2016 ×(0.125)2015. 【解析】此题可先用同底数幂的乘法的逆运算，将（-8）2016化 为（-8） ×（-8）2015，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算. 【答案】原式=（-8）×（-8）2015 ×（0.125）2015=（-8）[（-8） ×0.125]2015=（-8）×（-1）2015=8. 【点拨】运用幂的运算公式，可将问题化繁为简，负数乘方结果 的符号，奇次方得负，偶次方得正.
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【配套训练】 我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形 的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式 来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①和图②等 图形的面积表示.
b ab a a2
ab b2 a2 ab
a
ab
图①
ab
a a2
ab a2
乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号
里的. 【配套训练】 (1)一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长
为 a2-2b+1 ；
（2）已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,
则这个多项式是
x2 2x 1 2
.
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专题三 整式的乘法公式的运用
(a+b)(a-b)=a2-b2
乘法公式
(a±b)2=a2±2ab+b2
因式 分解
定义
搞清楚与整式乘 法的区别与联系
步骤
一提二套三检查
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课堂训练 课后训练
1.已知（a+b)2=11, (a-b)2=7,则ab等于（ A ）
A. 1
B. -1 C. 0 D. 1或-1
2. 如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全平方式，则k
5
专题二 整式的运算
【例3】计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要 注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.