《复变函数与积分变换》课程教学大纲(工科)
英文名称：Complex Functions and Integral Transformation
课程编号：310601
课程类型：学科方向课程
学时：56 学分：3.5
适用对象：工科本科自动控制、电子、计算机、楼宇智能控制、机电、环境工程专业
先修课程：数学分析
一、课程的性质、目的与任务
1．课程性质
复变函数与积分变换是高等工科院校有关专业的一门基础课。

2．课程目的和任务
通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、教学内容及要求
第1篇复变函数
第1章复数与复变函数
教学内容
复数的各种表示方法；复数的代数运算；复数及其代数运算的几何意义；扩充复平面；平面点集；复变函数的概念及其几何意义；初等函数的定义及性质。

教学要求
1. 牢固掌握复数的各种表示方法及其运算。

2.了解区域的概念。

3.理解复变函数的概念，了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及其主要性质。

重点：复变函数的概念及其几何意义。

难点：初等函数中的多值函数。

深度和广度：牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念。

第2章导数
教学内容
复变函数的极限、连续和导数的概念；解析函数的概念；函数解析的充分必要条件；解析函数与调和函数的关系；由解析函数的实部求其虚部和由虚部求其实部的方法；初等函数的解析性。

教学要求
1. 了解复变函数的极限和连续的概念。

2. 理解复变函数的导数和复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充分必要条件。

3. 了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。

4. 了解初等函数的解析性。

重点：解析函数的概念；函数解析的充要条件；解析函数与调和函数的关系；初等函数的解析性。

难点：函数解析的充要条件的证明。

深度和广度：了解复变函数的极限、连续和导数的概念，理解复变函数解析的概念，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。

第3章 积分
教学内容
复变函数积分的定义和计算方法；柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数的高阶导数。

教学要求
1. 理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算方法。

2. 理解柯西积分定理、柯西积分定理的推广定理。

掌握柯西积分公式和高阶导数公式。

重点：柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数高阶导数公式。

难点：柯西公式；解析函数高阶导数公式的证明。

深度和广度：理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算公式；掌握柯西积分公式和高阶导数公式的应用。

第4章 级数
教学内容
复数项级数；幂级数（阿贝尔（Abel ）定理，收敛圆和收敛半径，和函数的解析性，解析函数的泰勒展式，一些初等函数的泰勒展开式）；罗朗（Laurent ）级数解析函数的罗朗展式。

教学要求
1. 正确理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。

2. 了解幂级数收敛圆的概念，理解幂级数：收敛圆和收敛半径，解析函数的泰勒展式相关定理。

3. 了解和函数的一些基本性质。

4. 会求z
e 、z sin 、)1ln(z +、α
)1(z +的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。

5. 理解罗朗（Laurent ）定理，会求简单的函数在圆环内展为罗朗级数。

重点：解析函数在圆及圆环内展为级数的理论。

难点：罗朗定理的证明。

深度和广度：了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，会简单的函数在圆环内展为罗朗级数的间接方法。

第5章 留数
教学内容
孤立奇点的分类及其类型的判定方法；留数的概念；留数定理；孤立奇点处留数的计算方法；应用留数计算定积分。

1. 掌握孤立奇点的分类方法，了解无穷远点作为孤立奇点的概念。

2. 正确理解留数的概念，会求孤立极点处的留数。

3. 理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法，会用留数求一些简单实积分。

重点：留数的概念、计算、留数定理。

难点：应用留数计算定积分。

深度和广度：熟练孤立奇点的分类及留数的方法，并利用留数定理求一些实积分。

第6章 保形映照
教学内容
保形映照的概念；分式线性映照及其性质特点；幂级数α
ωz =（α为正有理数）；指数函数z
e =ω及对数函数z ln =ω所构成的映照；简单区域之间的保角映照；
教学要求
1. 理解保形映照的概念。

2. 掌握分式线性映照的性质特点。

3. 了解α
ωz =（α为正有理数）和e z
ω=的映照性质。

4. 会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的保形映照。

重点：分式线性映照性质特点。

难点：运用分式线性作保形映照。

深度和广度：了解保形映照的概念，重点掌握分式线性映照的性质。

第2篇 积分变换
第1章 傅里叶（Fourier ）变换
教学内容
傅里叶积分的概念；频谱的概念；傅里叶积分定理；傅里叶变换的定义、性质、应用；δ
—函数函数的概念、性质及其傅里叶变换。

教学要求
1. 了解傅里叶积分，傅里叶积分定理，频谱的概念，理解傅里叶变换的概念，会求一些常见函数的傅里叶变换。

2. 正确理解傅里叶变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质，理解卷积的概念及卷积定理，会用这些性质来求傅里叶变换，解线性微分方程。

3. 了解单位脉冲函数（δ—函数）的概念及筛选性质并会用此性质来求一些函数的傅里叶变换。

重点：傅里叶变换的概念、性质、应用 难点：δ函数的概念
深度和广度：掌握傅里叶变换的概念、性质、应用。

第2章 拉普拉斯变换
教学内容
拉普拉斯积分的概念及其存在定理；常用函数的拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换概念定理；拉普拉斯变换的性质、应用；应用部分分式、卷积性质求拉普拉斯逆变换方法；应用拉普拉斯变换求解微分方程和微分方程组方法。

1. 理解拉普拉斯变换的概念、知道拉普拉斯变换的存在定理。

2. 理解拉普拉斯变换的线性性质、微分性质、积分性质、位移性质及延迟性质。

3. 会用拉普拉斯变换的性质、部分分式法及查表的方法求拉普拉斯变换。

4. 会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。

重点：拉普拉斯变换的概念；性质；应用。

难点：拉普拉斯变换存在定理的证明。

深度和广度：掌握拉普拉斯变换的定义、性质；会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。

三、课程教学基本要求
1．课堂讲授：
课堂教学方法采用黑板讲授与多媒体课件相互配合进行，以启发、互动式的讲述为主，使学生从中学到本课程的基本内容，并学会逻辑推理方法，得到数学能力的培养。

2．作业：
布置习题的目的有两点：一是对基本知识内容的掌握;二是数学能力的培养。

每次课（2学时）布置5-7个题。

3．考核方式：考试
考试形式以笔试为主，题型有选择题、填空题、计算题和证明题。

以开卷面试为辅。

四、实践教学环节
无
五、学时分配
六、教学内容更新说明
无
制订者：苏变萍
审定者：陈东立批准者：冯小娟校对者：苏变萍
制定日期：2004年6月12日。