暑期数学强化试题一．选择题（共9小题）1．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b2．下列运算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．2a﹣2=C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b3．四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG 的边长为b，连接BD，BF和DF后得到三角形BDF，请用含字母a和b的代数式表示三角形BDF的面积可表示为（）A．ab B．ab C．b2 D．a24．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±205．如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于（）A．24°B．34°C．26°D．22°6．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF 的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°7．已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（共12小题）8．函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是．9．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．11．在△ABC中，AC=BC，AB=8，∠ACB=90°，点P是AB边上的动点（不与A、B重合），点E在BC边上，且CE=BC，连PC，作CQ⊥PC，且CQ=PC，连PE、PQ、EQ．△PQE的面积记为S，当P点运动时，则S的取值范围是．12．如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠B=50°，则∠EDF的度数为度．14．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=．15．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；=IE（AB+BC+AC）；②S△ABC③BE=（AB+BC﹣AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是．16．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，过D点的直线EF ∥BC且交AB于E、交AC于F，已知AB=7cm，AC=5cm，BC=6cm，则△AEF的周长为cm．三．解答题（共7小题）17．甲、以两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．18．为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：（1）根据上表的数据，写出用t表示Q的关系式；（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）若汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了多少小时？（4）若该种汽车油箱只装了46L汽油，汽车以100km/h的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗，为什么？19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．20．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD．连接AC、BD，AC⊥DC．过点B作BE⊥AC，分别交AC、AD于点E、F．点G为BD中点，连接CG．（1）求证：△ABE≌△DAC；（2）根据题中所给条件，猜想：CE与CG的数量关系，并请说明理由．21．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC 的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．22．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．2018年07月06日开心数学的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD ﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．故选：B．2．下列运算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．2a﹣2=C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b【解答】解：A、3a﹣2a=a，此选项错误；B、2a﹣2=，此选项错误；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，此选项错误；D、6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b，此选项正确；故选：D．3．四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG 的边长为b，连接BD，BF和DF后得到三角形BDF，请用含字母a和b的代数式表示三角形BDF的面积可表示为（）A．ab B．ab C．b2 D．a2【解答】解：如图，=S△BCD+S梯形CEFD﹣S△BEF如图，S△BFD=a2+（a+b）×b﹣（a+b）b=a2．故选：D．4．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±20【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，∴m=±10，故选：B．5．如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于（）A．24°B．34°C．26°D．22°【解答】解：如图，延长KP交AB于F，∵AB∥DE，DK平分∠CDE，∴∠BPF=∠EDK=∠CDK，设∠C=α，则∠BPG=2α+57°，∵∠BPG是△BPF的外角，∠CDK是△CDG的外角，∴∠BFP=∠BPG﹣∠ABP=2α+57°﹣∠ABP，∠CDK=∠C+∠CGD=α+∠BGP=α+（180°﹣∠BPG﹣∠CBP），∴2α+57°﹣∠ABP=α+180°﹣（2α+57°）﹣∠CBP，∵PB平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，∴2α+57°=α+180°﹣（2α+57°），解得α=22°，故选：D．6．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF 的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°【解答】解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选：B．7．已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵当n≥3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n﹣1．即：当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5（=2+3）个交点；当n=5时，共有9（=5+4）个交点；…，∴n条直线共有交点2+3+4+…+（n﹣1）=个．解方程=27，得n=8或﹣7（负值舍去）．故选：C．二．填空题（共12小题）8．函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是8．【解答】解：①x≤1时，y=1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=30﹣10x，当x=1时，y最小值=30﹣10=20；②1＜x≤2时，y=x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣8x+28，当x=2时，y=28﹣16=12；最小值③2＜x≤3时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣4x+20，当x=3时，y=20﹣12=8；最小值④3＜x≤4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）=2x+2，无最小值；⑤x＞4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）=10x﹣30，无最小值．综上所述，原式的最小值为8．9．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是5．【解答】解：作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，∵AC=BC=5，∴∠CAB=∠CBA=50°，∵∠OAB=10°，∴∠CAD=∠OAD===20°，∵∠DAB=∠OAD+∠OAB=20°+10°=30°，∴∠DAB=30°=∠DBA，∴AD=BD，∠ADB=120°，在△ACD与△BCD中⇒△ACD≌△BCD⇒∠CDA=∠CDB，∴∠CDA=∠CDB===120°，在△ACD与△AOD中⇒△ACD≌△AOD⇒AO=AC，∴AO=5．故答案为5．11．在△ABC中，AC=BC，AB=8，∠ACB=90°，点P是AB边上的动点（不与A、B重合），点E在BC边上，且CE=BC，连PC，作CQ⊥PC，且CQ=PC，连PE、PQ、EQ．△PQE的面积记为S，当P点运动时，则S的取值范围是16≤S≤32．【解答】解：如图作PM⊥BC于M，QN⊥BC于N．∵∠PCQ=∠PMC=∠QNC=90°，∴∠PCM+∠QCN=90°，∠QCN+∠CQN=90°，∴∠PCM=∠CQN，∵CP=CQ，∴△CPM≌△QCN，∴CM=NQ，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠B=45°，∴PM=BM，∴PM+QN=CM+BM=BC，∵S=S△PCQ ﹣（S△PCE+S△QCE）=S△PCQ﹣•CE（PM+QN）=S△PCQ﹣•CE•BC=S△PCQ﹣8，∴当△PCQ的面积最大时，S的值最大，当△PCQ的面积最小时，S的值最小，∵△PCQ的面积最大值为32，最小值为16，∴16≤S≤32．故答案为16≤S≤32．12．如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠B=50°，则∠EDF的度数为50度．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC∴∠B=∠C∵BE=CD，BD=CF∴△BED≌△CDF（SAS）∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF∵∠EDF=180°﹣∠CDF﹣∠BDE=180°﹣（∠CDF+∠BDE）∵∠B=50°∴∠BDE+∠BED=130°即∠CDF+∠BDE=130°∴∠EDF=50°．故填50．14．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=10．【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，∴∠ACE=∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF=CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF=BG，设CF=CG=x，则AF=AC﹣CF=12﹣x，BG=BC+CG=8+x，∴12﹣x=8+x，解得x=2，∴AF=12﹣2=10．故答案为：10．15．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；=IE（AB+BC+AC）；②S△ABC③BE=（AB+BC﹣AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是①②③．【解答】解：①∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，∴∠ABI=∠IBD，∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=（∠BAC+∠ACB），∠ABI=∠ABC，∴∠CID+∠ABI=90°，∵IE⊥BC于E，∴∠BIE+∠IBE=90°，∵∠ABI=∠IBE，∴∠BIE=∠CID；即①成立；②∵I是△ABC三内角平分线的交点，∴点I到△ABC三边的距离相等，=S△ABI+S△BCI+S△ACI=•AB•IE+BC•IE+AC•IE=IE（AB+BC+AC），∴S△ABC即②成立；③如图，过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，∵I是△ABC三内角平分线的交点，∴IE=IH=IG，在Rt△AHI与Rt△AGI中，，∴Rt△AHT≌Rt△AGI（HL），∴AH=AG，同理BE=BH，CE=CG，∴BE+BH=AB+BC﹣AH﹣CE=AB+BC﹣AC，∴BE=（AB+BC﹣AC）；即③成立；④由③证得IH=IE，∵∠FHI=∠IED=90°，∴△IHF与△DEI不一定全等，∴HF不一定等于DE，∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，即④错误．故答案为：①②③．16．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，过D点的直线EF ∥BC且交AB于E、交AC于F，已知AB=7cm，AC=5cm，BC=6cm，则△AEF的周长为12cm．【解答】解：∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵FE∥BC，∴∠DBC=∠DBE，∴∠DBE=∠EDB，∴BE=ED，同理DF=DC，∴△AED的周长=AE+AF+EF=AB+AC=5+7=12（厘米）故填12．三．解答题（共7小题）17．甲、以两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．【解答】解：（1）y1=60+30×0.6x=60+18x；y2=10×30+30×0.5（x﹣10）=150+15x；（2）当x=40时，y1=60+18×40=780，y2=150+15×40=750，因为y1＞y2，所以选择乙合算．18．为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：（1）根据上表的数据，写出用t表示Q的关系式；（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）若汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了多少小时？（4）若该种汽车油箱只装了46L汽油，汽车以100km/h的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗，为什么？【解答】解：（1）Q=100﹣6t；（2）当t=5h时，Q=100﹣6×5=100﹣30=70．答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是70L；（3）当Q=55时，55=100﹣6t，6t=45，t=7.5．答：汽车行使了7.5小时；（4）∵700÷100=7（小时），7×6=42（L），42L＜46L，∴在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点．19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°20．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD．连接AC、BD，AC⊥DC．过点B作BE⊥AC，分别交AC、AD于点E、F．点G为BD中点，连接CG．（1）求证：△ABE≌△DAC；（2）根据题中所给条件，猜想：CE与CG的数量关系，并请说明理由．【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，∴∠BAE+∠DAC=90°，又∵BE⊥AC，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠DAC，∵AC⊥DC，∴∠DCA=∠AEB=90°，又∵AB=AD∴△ABE≌△DAC．（2）解：结论：CE=CG．理由：连结AG、EG由（1）知BE=AC，∠DAC=∠ABE，∵∠BAD=90°，AB=AD，G为BD的中点，∴AG=BG，∠DAG=∠BAG=∠ABD=45°．∵∠DAC=∠ABE，∴∠CAG=∠EBG，在△CAG和△EBG中，，∴△CAG≌△EBG，∴CG=EG，∠ACG=∠BEG，∴∠ACG=∠CEG，∴∠ACG=∠CEG=∠GEB，又∵BE⊥AC，∴∠ACG=∠CEG=∠GEB=45°，∴∠CGE=90°，∴CE=CG．21．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC 的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN；此时=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【解答】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．（2分）．理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，∵DM=DN，BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN；∴AM=AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB=AM+BM，∴AM：AB=2：3，∴=；（2）猜想：结论仍然成立．（3分）．证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∴=；（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，（5分）可证∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，（7分）．∴NC﹣BM=MN．（8分）．22．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ=60°不变．∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°又由条件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ=120°不变．∵在等边三角形中，BC=AC，∠B=∠CAP=60°∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由条件得BP=CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC=∠MQC又∵∠PCB=∠MCQ，∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°。