基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B

i0
Ai i!

j0
Aj j!

k
k0 l0
Al l!

Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !

k 0


l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!



5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u

u1 u2

5
3

2
6
34

0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
ea1t



ea2t


eant
此即为所求的基解矩阵。 实际上，原方程组可写成
n个方程 xk’=Axk (k=1,2,…,n) 分别进行积分。
6
第五章线性方程组§5.2
例2
试求
x
'

2 1
1 2
x
的基解矩阵
解因
A

2 1
1 2

2 0
则称特征值λ0为k重根。 k=1时称为单根。 • 特征值λ0可以是实的， 也可以是复的。
• λ0为复数时，则其共轭复数 0 也是特征值。 8
第五章线性方程组§5.2
例3
试求矩阵
A

3 5
5 3
的特征值和特征向量
解 A的特征值就是的特征方程
det(E A)
的根。解得λ1,2=3±5i。 • 对应特征值λ1=3+5i的特征向量
矩阵指数有性质：
(1)
eAt exp At Aktk k0 k !
在t的任有限区间上一致收敛；
证 对一切正整数k，当|t|≤c时有
Ak t k

Ak tk
A k ck
k!
k!
k!
•
而数值级数
A ck
k0 k !
是收敛的，故
Aktk
k0 k !
一致收敛。
2
第五章线性方程组§5.2
1! 2!
k!
即是方程组(33)的解矩阵。
Aexp At A(t)
而
det (0) det E 1 0
得Φ(t)是基解矩阵。 • 由基解矩阵的性质，
知方程组(33)的任一解可表为(expAt)c
5 第五章线性方程组§5.2
a1

例1 对对角矩阵(其中未写出的
A
a2
• 同样，对应特征值λ2=3-5i的特征向量v必须
满足线性代数方程组
(2
E

A)v

5

5
i
5 5i

v1 v2



5iv1 5v1
5
5v2 iv2

(3) (expA)-1存在且(expA)-1 =exp(-A)；
证 因A与-A可交换，取B=-A，由性质(1)得
exp Aexp(A) exp(A (A)) exp 0 E
于是(expA)-1 =exp(-A) 。
(4) 如T为非奇异矩阵，即detT≠0，
则
exp(T-1AT)=T-1 (expA)T。
• 称为的特征多项式。 n次代数方程p(λ)=0 称为A的特征方程，或线性微分方程组的特征方程。
• 特征方程的根λ称为特征值，或特征根。 • 而线性代数方程组(λE-A)u=0的非零解u
称为对应特征值λ的特征向量。 • n次特征方程有n个特征值（包括重数）。 • 如p(λ)含因子(λ- λ0)k而不含因子(λ- λ0)k+1 ，
，最后得基解矩阵为
e2t exp At
0
0 0
e2t


E

0
1 e2t
0
t



0
te2t e2t


e2t
1 0
t 1
7 第五章线性方程组§5.2
特征值和特征向量
• 对n×n阶(实)常数矩阵A，n次多项式 p() det(E A)
§5.2 常系数线性微分方程组
常系数线性方程组 d x Ax dt
其中A为n×n常数矩阵
1 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数 expAt
• n×n阶常数矩阵A的矩阵指数定义为
eA exp A Ak E A A
k0 k !
2!
其中A0 = E为单位矩阵。
Am m!


元均为零)试求x’=Ax的基解矩阵

an

解 由定义得
a1
exp At E
a2



an

t 1!


a12
a22



t2 2!

an2
a1k


a2k





tk 2!

ank
0 2

0 1
1 0
后面两个矩阵可交换，可得
exp
At

exp
2 0
0 2
t

exp
0 0
1 e2t
0 t


0
0 e2t


E

0 0
1 0
t

0 0
12 0
t2 2!


因 0 12 0 0 0 0 0 0
证有
exp(T 1AT ) E (T 1AT )k E T 1AkT
k1 k !
k1 k !

E

T
1

k 1
Ak k!
T

T
1

k 0
Ak k!
T

T 1 exp
AT
4
第五章线性方程组§5.2