3.电子运动最大速度
为电子相邻两次碰撞的时间间隔 。
v a eE
m
a eE m
4.电子运动的平均速度(漂移速度)
由于电子在自由程之间所获得的附加速度是从零
增加至v，所以电子运动的平均速度(漂移速度)为：
v eE
2m
5.电流、电流密度和自由电子密度、漂移速度的关系
(1)电流密度和自 由电子密度、漂 移速度的关系
固体电子论基础
一、经典理论对电子气的描述
1.特鲁特自由电子模型(1900年) (1)金属中的价电子象气体分子一样组成电子气，在温 度为T的晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子 一样。 (2)除了和金属离子碰撞以外，基本上是自由的。通过 和金属离子的碰撞在一定温度下达到热平衡。可以用具 有确定的平均速度和平均的自由时间的电子来代表。 (3)在外电场的作用下，电子气产生的漂移运动引起了 电流。
8.自由电子气的动能
3 2 kBT
1 mv 2 2
3 1.3810-23 300 2
6.2110-21 J 0.04eV
9.电子热运动的速度— 约为: 105m/s
v
8kT
m
81.381023 300 3.14 9.9110-31
105
m
s
三、魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系 实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
M, NA为阿伏伽德罗常数，则n为：
n z N A
M
4.每个电子平均占据的体积及其等效球的半径
V 1 4rs3
Nn 3
rs
3 1 3
4n
rs～10-10m，金属中自由电子气的密度比经典理想气体 的浓度(250C时空气的分子密度为: 2.46×1025个/m3)大 1000倍左右(约为:1028～1029个/m3)。
2.特鲁特-洛伦兹自由电子模型(经典自由电子理论)
在特鲁特自由电子模型的基础上，1904年，洛伦兹
对该模型进行了补充和改进：
(1)电子气是经典粒子，服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
f v 4
m
32
e v -
m 2 kT
v2
2
2kT
f v
d N f vd v
N
O
v vdv
v
某一温度下麦克斯韦速率分布曲线
ne2l
2mv
C e,V
3 2 nkB
3 2 kBT
1 mv 2 2
e
3
Ce,V vl ne2l 2mv
2Ce,V v 2m 3ne 2
mv 2kB e2
3kB2T e2
LT
L
3k
2 B
e2
2.23 108
洛仑兹常数与具体 的金属和温度无关。
e LT
L
3k
2 B
e2
(1)当温度一定时，各金属的导热系数与电导率之比等
1.22
2.30
Al
3
18.1
1.10
2.07
In
3
11.5
1.27
2.41Sn414.81.172.22
Bi
5
14.1
1.19
2.25
二、金属的电导率
1.有外场E 时金属中自由电子的运动规律 (1)在外场E 的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上 将获得附加速度;
(2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度;
5.一些金属元素的自由电子密度
元素
z
n/1028m-3 rs/10-10m
rs/a0
Li
1
4.70
1.72
3.25
Na
1
2.65
2.08
3.93
K
1
1.4
2.57
4.86
Cu
1
8.47
1.41
2.67
Ag
1
5.86
1.60
3.02
Mg
2
8.61
1.41
2.66
Ca
2
4.61
1.73
3.27
Zn
2
13.2
M
j nev ne2E
2m
j zN Ae2E A m2 2mM
设电子平均自由程为l，则 l v 电流密度可写成
6.电导率
j zN Ae2E l A m2 2mM v
j zN Ae2 l
或
E 2mM v
ne2l
2mv
7.自由电子气的压力
PCu nkT 8.41028 1.3810-23 273 3.5108 Pa
后，得到的数值都是常数(L—洛仑兹 常数)，与具体的金属和温度无关。
L T
4.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律理论推导
1 Cvl
3
e
1 3
C
e,V
v
l
e 电子热导率
Ce,V
自由电子对热容的贡献,Ce,V
3 2
R
3 2 nkB
v 自由电子运动的平均速度
l 自由电子运动的平均自由程
e
1 3
C
e,V
v
l
2.魏德曼—弗兰兹定律 在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比
正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
W
ne2l
2mv
金属的导热系数； 金属的电导率；
W 魏德曼－弗兰兹常数。
1 Cvl
3
3.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律(洛仑兹关系)
各种温度下，金属的导热系数 与 电导率 之比除以相应的绝对温度以
S j
v
vt
e-
I
v
—漂移速度：自由电子在
电场力作用下产生的
定向
运动的平均速度。垂直于S面。
n —自由电子密度。
t 时间内通过S的电荷为： q e n vt S
I d q envS dt
j I env
S cos
(2)电流密度的计算
n z N A
n为单位体积固体中的自由电子数。
(3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动
速度而自由的前进。
这个过程在周期性晶体点阵 中反复不断的进行。
E
F
F
v0 0
v a v0 0
2.电子运动的动力学方程
E
F
F
v0 0
v a v0 0
F eE F ma
a eE m
E —外加电场的电场强度; m—电子质量； a—电子定向运动的加速度
(2)在一定的温度下，达到热平衡，电子具有确切的平
均动能和平均自由程。
3 2
kBT
1 kT
理想气体分子自由程
2nd 2 2 pd 2
(3)可以用经典力学定律(牛顿定律)对金属自由电子气模 型作出定量计算。
3.自由电子密度n 单位体积内的自由电子数称为自由电子密度。
设金属密度为，原子价为z,原子量为
于一个相同的常数;
(2)实验表明,洛仑兹常数只有在较高的温度即大于德拜
温度时才近似为常数;
(3)当温度趋于0K时，洛仑兹常数也趋近于零, 这是因
为金属中的导热不仅有电子的贡献,而且还有声子的贡
献。
四、经典自由电子理论的局限性
1.电子气的热容问题。
(1)晶格振动对热容CV的贡献
CVa 3NkB 3R＝24.9 J K mol ;
(2)电子若有贡献，每个电子对热容的贡献为：
CVe
3 2 kB
或
CVe