2.12 密闭容器，测压管液面高于容器内液面h =，液体的密度为850kg/m 3，求液面压强。

解：08509.807 1.8a a p p gh p ρ=+=+⨯⨯相对压强为：15.00kPa 。

绝对压强为：116.33kPa 。

答：液面相对压强为15.00kPa ，绝对压强为116.33kPa 。

2.13 密闭容器，压力表的示值为4900N/m 2，压力表中心比A 点高，A 点在水下，，求水面压强。

解：0 1.1a p p p g ρ=+-4900 1.110009.807a p =+-⨯⨯ 5.888a p =-（kPa ）相对压强为： 5.888-kPa 。

绝对压强为：95.437kPa 。

答：水面相对压强为 5.888-kPa ，绝对压强为95.437kPa 。

解：（1）总压力：433353.052Z P A p g ρ=⋅=⨯⨯=（kN ） （2）支反力：()111333R W W W W g ρ==+=+⨯⨯+⨯⨯总水箱箱980728274.596W =+⨯=箱kN W +箱不同之原因：总压力位底面水压力与面积的乘积，为压力体g ρ⨯。

而支座反力与水体重量及箱体重力相平衡，而水体重量为水的实际体积g ρ⨯。

答：水箱底面上总压力是353.052kN ，4个支座的支座反力是274.596kN 。

2.14 盛满水的容器，顶口装有活塞A ，直径d =，容器底的直径D =，高h =，如活塞上加力2520N （包括活塞自重），求容器底的压强和总压力。

解：（1）容器底的压强：225209807 1.837.7064D A p p gh dρπ=+=+⨯=（kPa ）（相对压强） （2）容器底的总压力：223137.7061029.61444D D D P Ap D p ππ==⋅=⨯⨯⨯=（kN ）答：容器底的压强为37.706kPa ，总压力为29.614kN 。

用多管水银测压计测压，图中标高的单位为m ，试求水面的压强0p 。

解：()04 3.0 1.4p p g ρ=--()()5 2.5 1.4 3.0 1.4Hg p g g ρρ=+---()()()()2.3 1.2 2.5 1.2 2.5 1.4 3.0 1.4a Hg Hg p g g g g ρρρρ=+---+---()()2.3 2.5 1.2 1.4 2.5 3.0 1.2 1.4a Hg p g g ρρ=++---+--()()2.3 2.5 1.2 1.413.6 2.5 3.0 1.2 1.4a p g g ρρ=++--⨯-+--⎡⎤⎣⎦ 265.00a p =+（kPa ）答：水面的压强0p 265.00=kPa 。

盛有水的密闭容器，水面压强为0p ，当容器自由下落时，求水中压强分部规律。

g解：选择坐标系，z 轴铅垂朝上。

由欧拉运动方程：10z pf zρ∂-=∂ 其中0z f g g =-+= ∴0pz∂=∂，0p = 即水中压强分布0p p = 答：水中压强分部规律为0p p =。

圆柱形容器的半径R =15cm ，高H =50cm ，盛水深h =30cm ，若容器以等角速度ω绕z 轴旋转，试求ω最大为多少时不致使水从容器中溢出。

解：建立随圆柱容器一起转动的坐标系oxyz ，o 点在水面最低点。

则有：0x pf xρ∂-=∂ 0y p f y ρ∂-=∂ 0z pf zρ∂-=∂ 即有：x y z f dx f dy f dz dp ρρρ++=其中：z f g =-；22cos x f r x ωθω==；22sin y f r y ωθω==故有：()22dp x dx y dy gdz ρωω=+-()22202p p gz xy ρωρ-=-++2202p p gz r ρωρ=-+当在自由面时，0p p =，∴自由面满足2202z r gω=∴()000p p g z z p gh ρρ=+-=+上式说明，对任意点()(),,,x y z r z =的压强，依然等于自由面压强0p g ρ+⨯水深。

∴等压面为旋转、相互平行的抛物面。

答：ω最大为s 时不致使水从容器中溢出。

2.15 装满油的圆柱形容器，直径D =80cm ，油的密度ρ=8013/m kg ，顶盖中心点装有真空表，表的读值为4900Pa ，试求：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小和方向；（2）容器以角速度ω=20s r /旋转时，真空表的读值不变，作用于顶盖上总压力的大小和方向。

解：（1）∵ 4.9v a p p p '=-=kPa∴相对压强 4.9a p p p '=-=-kPa224.9 4.90.8 2.4644D P pA ππ==-⨯=-⨯⨯=-（kN ）负号说明顶盖所受作用力指向下。

（2）当20ω=r/s 时，压强分布满足()22202p p gz xy ρωρ=-++坐顶中心为坐标原点，∴()(),,0,0,0x y z =时，0 4.9p =-kPa()22202A A P pdA p gz x y dA ρωρ⎡⎤==-++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 2222002D p r d rdr πρωθ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰222400228Dp r r ρωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2240464p D D ππωρ=+2240.8208014.90.84641000ππ⨯⨯=-⨯+⨯⨯3.98=（kN ）总压力指向上方。

答：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小为2.46kN ，方向向下；（2）容器以角速度ω=20s r /旋转时，真空表的读值不变，作用于顶盖上总压力为3.98kN ，方向指向上方。

2.16 绘制题图中AB 面上的压强分布图。

解：2B2.23矩形平板闸门AB，一侧挡水，已知长l=2m，宽b=1m，形心点水深c h=2m，倾角α=︒45，闸门上缘A处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力，试求开启闸门所需拉力T。

解：（1）解析法。

10009.80721239.228C C P p Ah g bl ρ=⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯=（kN ）322212 2.946122sin sin 45sin 45sin C C D C C C bl I h y y h y A blαα=+=+=+==⨯⋅oo （m ） 对A 点取矩，当开启闸门时，拉力T 满足：()cos 0D A P y y T l θ--⋅=()212sin sin 2sin cos cos C C CD A h h l l P h P y y T l l αααθθ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+-- ⎪⎢⎥⋅⎝⎭⋅-⎢⎥⎣⎦==⋅ 2122sin 3.9228cos C l lP h l αθ⎛⎫ ⎪+ ⎪⋅ ⎪⎝⎭==⋅31.007=（kN ）当31.007T ≥kN 时，可以开启闸门。

（2）图解法。

压强分布如图所示：PAsin 4512.682A C l p h g ρ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭o （kPa ）sin 4526.552B C l p h g ρ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭o （kPa ）对A 点取矩，有1122cos 450P AD P AD T AB ⋅+⋅-⋅⋅=o∴()12223cos 45A B A l p l b p p l b lT l ⋅⋅⋅+-⋅⋅⨯⨯=⋅o()212.681126.5512.6813cos 45⨯⨯+-⨯⨯=o31.009=（kN ）答：开启闸门所需拉力T 31.009=kN 。

（kN ）2.24 矩形闸门高h =3m ，宽b =2m ，上游水深1h =6m ，下游水深2h =，试求：（1）作用在闸门上的静水总压力；（2）压力中心的位置。

解：（1）图解法。

压强分布如图所示：∵()()12p h h h h g ρ=---⎡⎤⎣⎦()12h h g ρ=-()6 4.510009.807=-⨯⨯ 14.71=（kPa ）14.713288.263P p h b =⋅⋅=⨯⨯=（kN ）合力作用位置：在闸门的几何中心，即距地面(1.5m,)2b处。

（2）解析法。

()()111 1.56 1.5980732264.789P p A g h hb ρ==-⋅=-⨯⨯⨯=（kN ）3221221124.5 4.54.5 4.512C D C C bh I h y y y A bh ⎛⎫=+=+=+ ⎪⨯⎝⎭()120.250.75 4.6674.5=⨯+=（m ） ()222 1.539.80732176.526P p A g h hb ρ==-⋅=⨯⨯⨯=（kN ）()22211111130.75 3.253C CD C C C C I I y y y y A y A ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭（m ） 合力：1288.263P P P =-=（kN ）合力作用位置（对闸门与渠底接触点取矩）：()()111222D D D y P P h y P h y =---()()111222D D D P h y P h y y P---=()()264.7896 4.667176.526 4.5 3.2588.263⨯--⨯-=1.499=（m ）答：（1）作用在闸门上的静水总压力88.263kN ；（2）压力中心的位置在闸门的几何中心，即距地面(1.5m,)2b处。

矩形平板闸门一侧挡水，门高h =1m ，宽b =，要求挡水深1h 超过2m 时，闸门即可自动开启，试求转轴应设的位置y 。

解：当挡水深达到1h 时，水压力作用位置应作用在转轴上，当水深大于1h 时，水压力作用位置应作用于转轴上，使闸门开启。

1 1.510009.80710.811.76842h P h g hb ρ⎛⎫=-⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（kPa ）221111.5 1.5562 1.512122D h h y h h h ⎛⎫=-+=+= ⎪⨯⎛⎫⎝⎭-⨯ ⎪⎝⎭（m ）∴转轴位置距渠底的距离为：2 1.5560.444-=（m ）可行性判定：当1h 增大时12C h y h ⎛⎫=-⎪⎝⎭增大，则C C I y A 减小，即压力作用位置距闸门形越近，即作用力距渠底的距离将大于0.444米。

答：转轴应设的位置y 0.444=m 。

金属矩形平板闸门，门高h =3m ，宽b =1m ，由两根工字钢横梁支撑，挡水面与闸门顶边齐平，如要求两横梁所受的力相等，两横梁的位置1y 、2y 应为多少？解：静水总压力：2310009.807144.13222h P g hb ρ=⋅⋅=⨯⨯⨯=（kN ） 总压力作用位置：距渠底113h =（m ）对总压力作用点取矩，∵12R R = ∴122233h y y h -=-，1243y y h += 设水压力合力为2P，对应的水深为1h ；22124h h gb gb ρρ=∴1 2.1213h ==（m ） ∴1121.4143y h ==（m ） 2144 1.414 2.5863y h y =-=-=（m ）答：两横梁的位置1y 1.414=m 、2y 2.586=m 。