i
m1
m2
2 2 k
2ζ ks 1) τ k 2ζTls 1) l
s
i1 ν n1
(T s 1)(T s
j j1 l1
k 1 n2
2 2 l
式中,m 1 2m2 m, n1 2n2 n,K为传递系数。 ν
a: 原系统的单位阶跃响应 b: 忽略电磁时间常数Ta
频率特性定义： 零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号 的复数比.
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2
u (t ) , y ss (t )
u (t )
频率不变 幅值和相位发生变化。
5 4 3 2 1 0
线性系统
Um
Ym
y ss (t )
-1 -2
0
0 0.5 1 1.5 2
G(j)在复平面上滑过的轨迹 反映 :0+∞时的频率特性的变化。
6.3 频率特性图示法-幅相频率特性曲线
uR
R
RC电 路 :
i
ui (t )
C
uC uo (t )
A( )
1 1 (T ) 2
( ) - arctan T ) (
Im
0
0
( )
Re
G ( j )
e
j G ( j ) j t

6.2 频率特性的基本概念
yss( ) G(j ) U m sin(t G(j )) A ) m sin(t ( )) t =( U
系统的频率特性为
Yss G( j ) e jG ( j ) G ( s ) s j A( )e j ( ) U (6 - 11)
为什么忽略开环传 递函数中小惯性环 节有这样的后果？
开环放大系数比较适当、 动态性能较好的情况下， 略去小时间常数环节不 致造成重大误差。
高阶系统不能随意忽略小时间 常数环节
为什么引入频率特性分析：视角变换
钢珠和铜珠分离
频率特性分析的优点
便于分析：
高阶系统的输出变化更复杂：视角的变换，使得信号特 征更为清楚，易分析； 任意函数都可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和。
U m j t U e G ( j ) m e j t 2j 2j
y ss ( t ) G ( j )
幅值 | G ( j ) | 、 相位G ( j )分别 是的偶函数和 奇函数
Um G ( j ) e j G ( j ) e j t G ( j ) e j G ( j ) e j t 2j U m G ( j ) e j G ( j ) j t G ( j ) e j G ( j ) j t 2j
Um 幅 频 特 性 A( ) : 1 (T ) 1 Um 1 (T )2
2
R
ui (t )
i
C
uC uo (t )
G ( j )
1
相 频 特 性 ： - arctan( ) T
该电路起到了低通滤波的作用。 物理意义：对不同频率信号的 “复现能力”，跟踪能力。 为什么？ 储能元件的存在，及其能量交换。 和时域响应有什么联系？ 动态特性分析
滞后（开环偶极子）校正
第六章 频率特性分析法
华南理工大学 自动化科学与工程学院
6.1 引言
本章知识体系
基本知识： 频率特性概念 频率特性表示法
开环频率特性： 特点、稳定判据 与稳定裕度
基于频率特性的 性能分析：开环、 闭环
仿真： MATLAB
一、为什么要引入频率特性分析？
自动控制系统的研究方法
G ( j1 )
Q( ) A( )
G ( j )
A(1)
幅相频率特性 (Nyquist曲线) G ( j 2 )
A(2 )
( )
0
(1 )
P( )
Re
0
( 2 )
Re
G(j)复平面上的表示 转角以逆时针方向为正
ω作为参变量标在曲线相应点旁,并用箭 头表示 ω增大时轨迹的走向
现实 对象
抽象
模 型
控制 方法
经典控制理论
现实 对象
抽象
传递函数 微分方程 结构图
时域法 根轨迹法 频率法
为什么引入频率特性分析
时域分析法：直观、准确，对一二阶系统：微分方程 (传递函数) 分析时域性能； 高阶系统：难于建模和求解,而忽略小时间常数环节有 时会对系统造成很大影响。
G(s)
(τs 1)(τs K



e j G ( j ) j t G ( j ) U m 2j j sin ( G ( j ) t ) j sin (G( j ) t ) G ( j ) U m 2j G ( j ) U m sin ( t G ( j )) (6 - 10) A( )U m sin ( t ( ))
K g N ( s) U m ω U mω 输 出 ： ( s ) G( s )U ( s ) G( s ) L[U m sinωt ] G( s ) 2 Y n 2 s ω s 2 ω2 ( s pl ) 若G( s )极点互 不相同，则 l 1
n bl a a Y ( s) s jω s jω l 1 s pl
频率特性
输入：正弦信号 输出特征：系统的稳态响应 研究对象：
输入和输出稳态响应之间的关系：反映系统的动、静态 特性； 及其与系统结构、时域特征之间的关系。
u (t ) , y ss (t )
u (t )
y ss (t )
Um
Ym
0
t

一、为什么引入频率特性 二、什么是频率特性
三、如何进行频率特性分析？
6.3 频率特性图示法-幅相频率特性曲线
用极坐标和直角坐标表示频率特性：
G( j )向量表示 | G( j ) | G( j ) A( ) ( ) P( ) jQ( ) (6-16)
Im
Im
A(): 幅频特性 : 相频特性 P(): 实频特性 Q(): 虚频特性
-3 -4
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

2.5
3
-5
极坐标形式：将正弦信号用幅值+相位表达为复数。 系统的频率特性为：系统的输出与输入之复数比。
6.2 频率特性的基本概念
考虑系统传递函数的一般形式
G( s) K g N ( s)
(s p )
l 1 l
n
(6 - 1)
输入： (t ) U m sinωt 1(t ) u
利用待定系数法： a Y ( s )(s j ) |s j G( j )
其中， G ( j ) G ( s)
s j
输 出 ： ( s) G( s) Y
Umω s 2 ω2
Um U ，a Y ( s )(s j ) |s j G( j ) m 2j 2j
/(rad/sec)
频率特性分析引入的依据 系统模型间的关系
频率特性：与系统的结构参数、稳定性、时域性能之间有 一定的对应关系。
美国贝尔实验室的 Hendrik Wade Bode (1938)， 以及Harry Nyquist(1940)提出频率响应法
Bode
Nyquist
14
二、什么是频率特性分析？
§6-1 频率特性的基本概念-频率特性定义
当t 时 , 系 统 稳 态 输 出 为 : uoss ( t ) Um 1 (T )
2
si n ( t arctanT ) U om si n ( t ) (6 - 13)
uR
6.2.2 频率特性的物理意义
1 Um G(s) uoss ( t ) sin( t arctanT ) 2 Ts 1 1 (T )
频率特性可以从传递函数得到 输入正弦信号ω不同时，输入输出的频率特性表达不同。 表达频 率特性 A( ) G ( j ) 的关键 幅值比
幅 频 特 性(也 常 称 增 益: )
相频特性 :
( ) G( j )
相位差
6.2.2 频率特性的物理意义
电路的输入电压和输出电压分 别为ui(t)和uo(t)，对应的拉普 拉斯变换分别为Ui(s)和Uo(s)
0
4/T
8/T

G ( j )
0
90
0
4/T
8/T

频率特性可实验测量
正弦信号发生器
线性定常系统或元件 （实验对象）
双踪示波器
在所关心的频率范围，按一定间隔改变输入信号的频率值， 分别测得对应的幅值比和相位差即可求得系统的频率特性曲 线。 频率特性的优点：能通过实验方法来建立系统的数学模型。
5
L( ) /(dB)
1)对数幅值，纵坐标均匀刻度， 单位是分贝(dB）。
L( ) 20lgG( j ) 20lg A( )
10
15
20
25 0
( ) /()
2)对数相频特性的纵坐标为相 角，单位是度(°)。
45
( ) G( j )
优点： 1) 将乘除运算转化为加减运算，因而可通过简单的图像叠加 快速绘制高阶系统的伯德图 ；如 20lgA1()A2()=20lgA1()+20lgA2()
对象模型存在不确定性因素时，仍能得到满意设计结果 （因为它突出了主要矛盾：特定位置处相位与幅值关系）
2 1.5 1
2 5 4 3
0.5 0 -0.5 -1
线性系统
1 0 -1 -2 -3