近年高考热点及难点问题—— 恒成立、存在性问题题型及解法“存在性”与“恒成立”问题是近年来高考中的热点及难点问题，这类题目是逻辑问题，也是对选修中“推理与证明”的理性的考查，表现形式一般是函数的问题，对于这类问题的区分与解法下面举例说明。

已知函数]1,0[,274)(2∈--=x xxx f ,函数)1(],1,0[,23)(23≥∈--=a x a x a x x g .易知,ax g aa x f 2)(321,3)(42-≤≤---≤≤-。

（1）若对任意的]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围. 略解：由题意，]2,321[]3,4[2a a a ---⊆--，解得，231≤≤a .（2）若存在]1,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =成立，求a 的取值范围.略解：只要两个函数的值域交集不空即可，即⎩⎨⎧≥-≥-142a a ，∴ 21≤≤a .（3）若存在]1,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >成立，求a 的取值范围.略解：只要minmax )()(x g x f >，即⎩⎨⎧≥-->-132132a a a ，∴1≥a .（4）若对任意的]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使)()(21x g x f >成立，求a 的取值范围.略解：只要minmin )()(x g x f >，即⎩⎨⎧≥-->-132142a a a ，∴ 1>a .（5）若对任意的]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使)()(21x g x f <成立，求a 的取值范围.略解：只要maxmax )()(x g x f <，即⎩⎨⎧≥->-132a a ，∴ 231<≤a .（6）若对任意的]1,0[,21∈x x ，都有)()(21x g x f <成立，求a 的取值范围. 略解：（这是恒成立问题）只要minmax )()(x g x f <，解得φ∈a . （7）若对任意的]1,0[,21∈x x ，都有)()(21x g x f >成立，求a 的取值范围.略解：（这是恒成立问题）只要maxmin )()(x g x f >，解得2>a.（8）若存在]1,0[,21∈x x ，使得1|)()(|21<-x g x f 成立，求a的取值范围.略解：变形—构造，存在]1,0[1∈x ，]1,0[2∈x⎩⎨⎧+<+<⇒⎩⎨⎧+<+<m a xm i n m a x m i n 1221)(1)()(1)(1)()(1)()(x f x g x g x f x f x g x g x f即⎩⎨⎧-+<---+<-)3(1321)2(142a a a ，∴ 251<≤a .（9）对任意的]1,0[,21∈x x ，1|)()(|21<-x g x f 都成立，求a的取值范围.略解：⎩⎨⎧<-<-1)()(1)()(min max min max x f x g x g x f ，解得φ∈a .（10）对任意的]1,0[,21∈x x ，1|)()(|21<-x g x g 都成立，求a的取值范围.略解：1|)()(|min max <-x g x g ，解得φ∈a .逻辑关系是数学推理的本质，只有认清逻辑关系，才能把问题转化，才能更简约求真，这是对核心概念（函数即对应）的体现。

附： 例1．设函数2ln )(,2)(22+-=+=x xa x g ax x f ，其中R a ∈，0>x 。

（1）若2=a，求曲线)(x g y=在点（1，)1(g ）处的切线方程；（2）是否存在负数a ，使)()(x g x f ≤对一切正数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

（1）由题意可知：当2=a时，2ln 4)(2+-=x x x g ，则xx x g 18)(-='，曲线)(x g y=在点（1，)1(g ）处的切线斜率7)1(='=g k，又6)1(=g ，∴所求切线方程为17-=x y（2）设函数22ln )()()(x a x ax x g x f x h -+=-=)0(>x ，假设存在负数a ，使)()(x g x f ≤对一切正数x都成立。

即当>x 时，)(x h 的最大值小于等于零。

)0(1221)(222>++-=-+='x xax xa x a xa x h令0)(='x h 可得ax ax 1,2121=-=（舍）。

当ax 210-<<时，)(,0)(x h x h >'单调递增；当ax21->时，)(,0)(x h x h <'单调递减。

∴)(x h 在ax 21-=处有极大值，也是最大值。

∴)21()(max ≤-=ah x h解得4321--≤ea ，∴存在负数a ，它的取值范围是4321--≤ea 。

注：此题若改为是否存在负数a ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，)()(21x g x f ≤都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

只需在区间]2,1[上，minmax )()(x g x f ≤即可。

例2．已知函数)(123)(23R x xaxx f ∈+-=，其中0>a。

若在区间]21,21[-上，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围。

方法一．（最值法）)1(333)(2-=-='ax x x axx f ，令)(='x f ，解得0=x 或ax1=，以下分两种情况讨论： （1）若20≤<a ，则211≥a ，当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：当]21,21[-∈x 时，0)(>x f 等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-0)21(0)21(f f ，解得55<<-a∴20≤<a （2）若2>a ，则110<<。

当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：当]21,21[-∈x 时，0)(>x f 等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-0)1(0)21(a f f ，解得522<<a 或22-<a∴52<<a ，综上可知a 的取值范围是（0,5）方法二．（分离参数法）原式即12323->xax ，当0=x 时，1023023-⨯>⨯a ，则Ra ∈；当]21,0(∈x 时，31123xxa -⨯>恒成立，令=)(x g 31123xx-⨯，]21,0(∈x 。

∵0263)(42>+-='xxx g∴)(x g 在区间]21,0(上是增函数，5)21()]([max -==g x g ，则5->a。

当)0,21[-∈x 时，31123xxa -⨯<恒成立，令=)(x h 31123xx-⨯，)0,21[-∈x ，∵0263)(42>+-='xxx h∴)(x h 在区间)0,21[-上是增函数，5)21()]([min =-=h x h ，则5<a 。

综上，55<<-a ，∵0>a ∴a 的取值范围是（0,5）例3．已知R a ∈,不等式ax x <+)1(ln 在区间1),(0上恒成立,求a 的取值范围.解：设axx x f -)1(ln )(+=，1)-1-(-)(+='x a a x a x f（1）若0<a ，)(>'x f ，函数)(x f 为增函数，则在区间1),(0上0)0()(=>f x f∴ax x >+)1(ln ∴不等式ax x <+)1(ln 在区间1),(0上不恒成立。

（2）若0=a，在区间1),(0上0)1(ln <+x 不恒成立（3）若10<<x ，0-1>aa ，在区间)-1,0(aa 上)(>'x f ，函数)(x f 为增函数，∴)0()(=>f x f∴ax x >+)1(ln ，∴区间1),(0上定有x 使不等式ax x <+)1(ln 在区间1),(0上不成立。

（4）若1≥a，则在区间1),(0上)(<'x f ，函数)(x f 为减函数∴0)0()(=<f x f∴ax x <+)1(ln ，∴区间1),(0上不等式ax x <+)1(ln 恒成立。

综上，1≥a记为所求。

注：用分离参数法无法解决。

由aa -1可知，a 应从0,1分区间考虑例4已知函数)(ln -)(a x x x f +=的最小值为0,其中0>a。

（1）求a 的值；（2）若对任意的),0[+∞∈x 有2)(kxx f ≤成立，求实数k 的最小值。

（1）)(x f 的定义域为),(-+∞a ，ax a x ax x f ++=+='1-1-1)(，由)(='x f ，得aax --1>=，当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：因此，)(x f 在a x -1=处取得最小值，故由题意0-1)-1(==a a f ，∴ 1=a 。

（2）当0≤k 时，取1=x，有02ln -1)1(>=f ，故0≤k不合题意。

当0>k时，令2-)()(kxx f x g =，即2-)1(ln -)(kxx x x g +=1)]2-1(-2[-2-1)(+=+='x k kx x kx x x x g ，令0)(='x g ，得1-22-1,021>==kk x x1．当21≥k 时，)(,022-1<'≤x g kk 在),0(+∞上恒成立，∴)(x g 在),0[+∞上单调递减。

从而对任意的),0[+∞∈x ，总有0)0()(=≤g x g ，即2)(kx x f ≤在),0[+∞上恒成立。

∴21≥k符合题意。

2．当210<<k 时，22-1>kk ，对于0),22-1,0(>'∈(x)g kk x ，故)(x g 在)22-1,0(k k 上单调递增。

∴当取)22-1,0(0kk x ∈时，0)0()(0=>g x g ，即20)(kx x f ≤不成立。

∴210<<k 不合题意。