用导数研究函数的恒成立与存在问题1．已知函数23()2ln xf x x x a=-+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值围．2．已知函数32()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。

（1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值围。

3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈.（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <，数a 的取值围.4．（2016届二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①数a 的值；②对121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦(e 为自然对数的底数)，不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，数k 的取值围．5．已知函数212()()ln ()f x a x x a R =-+∈．（1）当1a =时，01[,]x e ∃∈使不等式0()f x m ≤，数m 的取值围；（2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，数a 的取值围．用导数研究函数的恒成立与存在问题 答案1．解：(1)若a ＝1，则f (x )＝3x －2x 2＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减， 即f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(2)f ′(x )＝3a －4x ＋1x.若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立．即3a≥4x －1x 或3a ≤4x －1x.令h (x )＝4x －1x，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，解得a ＜0或0＜a ≤25或a ≥1.故a 的取值围是(－∞，0)∪(0，25]∪[1，＋∞)．2. 解：（1）由题意知.43)(',42)(223x x x f x x x f +-=-+-=令.340,0)('或得==x x f当x 在[-1，1]上变化时，)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=fx x x f 43)('2+-= 的对称轴为32=x ，且抛物线开口向下, )('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f)(')(n f m f +∴的最小值为-11.（2）)32(3)('a x x x f --= .①若0)(',0,0<>≤x f x a 时当, [)+∞∴,0)(在x f 上单调递减，又.4)(,0,4)0(-<>-=x f x f 时则当.0)(,0,000>>≤∴x f x a 使不存在时当②若,0)(',320,0><<>x f a x a 时则当当.0)(',32<>x f a x 时 从而⎥⎦⎤⎝⎛32,0)(在x f 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32a上单调递减，494278)32()(),0(33max-+-==+∞∈∴a a a f x f x 时，当，则.3,27,0427433>>>-a a a 解得即综上，a 的取值围是).,3(+∞ (或由020004,0)(,0x x a x f x +>>>得,用两种方法可解) 3． 解：（1）由已知120()()f x x x'=+>， 1213()f '=+=， 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3 而12()f =，所以切点为12(,)，)(x f y =在点1x =处的切线方程为 31y x =-（2）110()()ax f x a x x x+'=+=> ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，所以0()f x '>，()f x 的单调递增区间为0(,)+∞.②当0a <时，由0()f x '=，得1x a =-. 在区间10(,)a-上，0()f x '>，在区间1(,)a -+∞上0()f x '<，所以，函数的单调递增区间为10(,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞. （3）由已知，问题等价于为max max ()()f x g x <. 其中()2max g x =由(2)知，当0a ≥时，()f x 在0(,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意.(或者举出反例：存在3332()f e ae =+>，故不符合题意.)当0a <时，()f x 在10(,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，1111()ln()ln()f a a a-=-+-=---，所以21ln()a >---，解得31a e<-. 4． 解（Ⅰ）()()()()211220x x f x x x x x+-'=-+=->，…………………………1分 由()0,0f x x '⎧>⎨>⎩得01x <<；由()0,0f x x '⎧<⎨>⎩得1x >.()f x ∴在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. ……………………2分 ∴函数()f x 的最大值为()11f =-.…………………………………………3分 （Ⅱ）()()2,1a ag x x g x x x'=+∴=-.①由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点， ∴()110g a '=-=，解得1a =.……………………………………………4分经验证，当1a =时，函数()g x 在1x =时取到极小值，符合题意. ……5分 ②()()2112,11,392ln 3f f f e e ⎛⎫=--=-=-+ ⎪⎝⎭，易知2192ln 321e -+<--<-，即()()131f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭. ()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤∴∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦………7分由①知()()211,1g x x g x x x '=+∴=-，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]1,3x ∈时，()0g x '>. 故()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在(]1,3上为增函数.()()11110,12,3333g e g g e e ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭，而()()11012,133e g g g e e ⎛⎫<+<∴<< ⎪⎝⎭.()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ⎡⎤∴∀∈====⎢⎥⎣⎦. …………………9分1当10k ->，即1k >时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ⇔-≥-⎡⎤⎣⎦()()12max 1k f x g x ⇔≥-+⎡⎤⎣⎦. ()()()()1211123f x g x f g -≤-=--=-，312,1,1k k k ∴≥-+=->∴>又. ……………………………………………10分 2当10k -<，即1k <时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立()()12min 1k f x g x ⇔-≤-⎡⎤⎣⎦()()12min 1k f x g x ⇔≤-+⎡⎤⎣⎦. ()()()()1210373392ln 32ln 333f xg x f g -≥-=-+-=-+， 34342ln 3,1,2ln 333k k k ∴≤-+<∴≤-+又. ………………………………11分 综上，所数k 的取值围为()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦.…………………12分5．【解】：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x ＋1x，由x ∈[1，e]，f ′(x )＞0得函数f (x )在区间[1，e]为增函数，则当x ∈[1，e]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋12e 2.故要使∃x 0∈[1，e]使不等式f (x 0)≤m 成立，只需m ≥12即可.(2)在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象恒在直线y ＝2ax 的下方 等价于对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2ax ，即(a －12)x 2＋ln x －2ax ＜0恒成立．设g (x )＝(a －12)x 2－2ax ＋ln x (x ∈[1，＋∞))，则g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝(x －1)(2a －1－1x)．当x ∈(1，＋∞)时，x －1＞0,0＜1x＜1.①若2a －1≤0，即a ≤12，g ′(x )＜0，函数g (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，则当∀x ∈(1，＋∞)时g (x )＜g (1)＝a －12－2a ＝－12－a ，只需－12－a ≤0，即当－12≤a ≤12时，g (x )＝(a －12)x 2＋ln x －2ax ＜0恒成立．②若0＜2a －1＜1，即12＜a ＜1时，令g ′(x )＝(x －1)·(2a －1－1x )＝0得x ＝12a －1＞1，函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a －1为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞为增函数，则g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞，不合题意．③若2a －1≥1，即当a ≥1时g ′(x )＞0，函数g (x )在区间[1，＋∞)为增函数， 则g (x )∈[g (1)，＋∞)，不合题意．综上可知：当－12≤a ≤12时g (x )＝(a －12)x 2＋ln x －2ax ＜0恒成立，即当－12≤a ≤12时，在区间(1，＋∞)上函数f (x )的图象恒在直线y ＝2ax 的下方．。