绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

图象恒在函数g (x )的图像的上方，求m 的取值范围．解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．(2)f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立，又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)． 例5：设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关解：(1)设函数f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|()871=--≥，所以m ≤8.(2)由(1)知m 的最大值为8，故原不等式即为|x －3|≤2x ＋4.即－2x －4≤x －3≤2x ＋4.解得x ≥－13. 2f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5415=-≥|,f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)．绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤---≥---b x a x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到a 的距离与到b 的距离之差，故b a b x a x b a -≤-+-≤--利用图像和几何意义解c b x a x ≤---或c b x a x ≥---的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=---b x b a b x a b a x a x b a b x a x 2a xb x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到b 的距离与到a 的距离之差，故b a a x b x b a -≤-+-≤--利用图像和几何意义解c a x b x ≤---或c a x b x ≥---的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤++-<+-=---b x b a b x a b a x a x b a a x b x 2关键：零点分区间，越近越小。

A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，1）C ．（1，4）D ．（1，5）解：由于4514≤---≤-x x ，故251<---x x 时，根据图像和分析口诀可得：262<-x ，故4<x ，选A 。

例8：已知函数f (x )＝|x －4|－|x －2|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)解不等式|x －4|解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

2解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15，即18802+-≥x x ，故解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15，即221002+-≥x x ，故解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15，即12802+-≥x x ，故的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．A．（﹣∞，﹣2）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） D．（﹣2，4）2．（2016•德州一模）不等式|x+1|﹣|x﹣5|＜4的解集为（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，﹣4）C．（4，+∞）D．（﹣4，+∞）3．（2015•上海模拟）不等式|2﹣x|≤1的解集是（）A．[﹣3，﹣1] B．[1，3] C．[﹣3，1] D．[﹣1，3]4．（2014秋•江西月考）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞3 B．a＜0或a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤35．（2015•聊城校级模拟）不等式|1﹣2x|＜3的解集是（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＜﹣1或x＞2}6．（2015•合肥校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，5] B．（﹣3，5）C．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）7．（2015•文登市二模）不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．8．（2015•德州二模）已知关于x的不等式|x﹣1|﹣|x+a|≥8的解集不是空集，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9 B．a≥7C．﹣9≤a≤7D．a≤﹣9或a≥79．（2015•安徽模拟）不等式|x+2a|+|x﹣a|≥3对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣3，3] D．[﹣1，1]10．（2015春•恩施州期末）如果|x+1|+|x+9|＞a对任意实数x总成立，则a的取值范围是（）A．{a|a＞8} B．{a|a≤8}C．{a|a≥8}D．{a|a＜8}11．（2016•江西校级模拟）关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？12．（2016•白山三模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．13．（2016•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．14．（2016•陕西校级模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．15．（2016•葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．16．（2016•深圳一模）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．17．（2016•湘西州二模）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4解集为M（1）求M；（2）若不等式f（x）+a＜0有解，求a的取值范围．18．（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．19．（2016•山西校级二模）已知关于x的不等式|x﹣|+|x﹣1|≥（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．20．（2016•吴忠模拟）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；（2）当a=1时，若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．21．（2016•合肥二模）已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．22．（2016•延安校级二模）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时x的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+1）的解集为空集，求实数a的取值范围．。