证明线段相等的常用方法
宿城区中扬中学张家旭
一、证明两线段是全等三角形的对应边
例1、如图（1），△ABC是边长为a的等边三角形，沿长BC到D，使CD=b，沿长BA到E，使AE=a+b，连结EC、ED。

求证CE=DE
如图（1）如图（2）如图（3）
证明：沿长BD到F 使DF=a 则BF=2a+b 而BE=2a+b ∴BF=BE 又∠B=60°∴△BEF为等边三角形
∴BE=EF 而∠B=∠F BC=DF
∴△BEC ≌△FED ∴ CE=DE
例2、如图（2）、B、C、D在一直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，BE、AD分别交AC、EC于点G、F。

求证CG=CF
证明：在△ACD与△BCE中，AC=BC ∠ACD=∠BCE=120°CD=CE ∴△ACD≌△BCE ∴∠1 = ∠2
∴在△ACF与△BCG中，有∠1 = ∠2 AC=BC ∠ACF =∠BCG ∴△ACF≌△BC`G ∴ CG=CF
二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量
例3、图（3），梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于O，∠BOC=60°，E、F、G分别为AO、BO、CD的中点。

求证：△EFG为等边三角形。

证明：∵ABCD为等腰梯形∴AB=CD 可知△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC ∵∠BOC=60°, ∴∠BCO=∠CBO=60° 连结DE ，可知DE ⊥AO 而DG=GC ∴EG=21CD=2
1AB=EF 同理 EF=FG ∴ △EFG 是等边三角形。

例4、如图（4），正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，且AE=CD+CE ，AF 为∠EAD 的平分线。

求证 DF=CF 。

如图（4） 如图（5） 如图（6）
证明：在AE 上截取AH=AD ， 连FH 、FE
则△ADF ≌△AHF ∴∠FHE=90° DF=FH AH=AD
又因为 CE=AE-CD=AE-AH=HE
∴△FCE ≌△FHE ∴FH=FC ∴DF=FC
三、 证明两线段是一个三角形的等角的对边
例5、如图（5），在△ABC 中，∠ABC=90°，∠1=∠2，BD ⊥AC 于D ，
FH ⊥AC 于H 。

求证BEHF 是菱形。

证明：∵∠1=∠2 BD ⊥AC FH ⊥AC
可知∠4=∠BEF=∠BFE BE ∥FH ∴BE=BF
又BF=HF ∴BE=HF ∴BGHF 为菱形
四、 证明两线段是平行四边形的对边或者是对角线交点所分的两部分
例6、如图（6），E 、F 是平行四边形ABCD 对角线B 、D 上两点，且BE=DF ，
求证：AE=CF
证明：连结AC 设AC 与BD 的交点为O ， ∵ABCD 是平行四边形
∴OB=OD OA=OC 又∵BE=DF
∴OE=OF ∴四边形AECF 是平行四边形
∴AE=CF
五、 利用平行线等分线段定理来证
例7、如图（7），CP 为⊙O 的切线，PAB 为割线，COD 为直径，自A 作PO
的平行线分别交CD 、BD 于E 、F 。

求证：AE=EF
证明：作OM ⊥AB 则AM=BM 连CM 、EM 、CA
∵∠PCO=∠AMO=90° ∴P 、C 、M 、O 四点共圆
∴∠MCO=∠OPB=∠BAE ∴ A 、C 、M 、E 四点共圆
∴∠AME=∠ACE=∠ABF ∴ME ∥BF
∴AE=EF
六、 利用平行线分线段成比例定理来证
例8、如图（8），梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD 。

的交点，EF 过点0并且平行于AD 。

求证：OE=OF
如图（7） 如图（8） 如图（9） 证明：∵AD ∥BC ∥EF ∴OE/BC=AE/AB OF/BC=DF/DC 又由于AE/AB=DF/DC ∴OE/BC=OF/BC
∴OE=OF
七、 用代数方法通过计算来证明
例9、如图（9）△ABC 中，D 、E 为BC 上的任意两点，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，ES ⊥AB ，ER ⊥AC ，且DM+DN=ES+ER 求证：AB=AC
证明： △ABD 面积+△ACD 面积=△ABE 面积+△ACE 面积
∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，ES ⊥AB ，ER ⊥AC
∴21AB ·DM+21AC ·DN=21AB ·ES+2
1AC ·ER
∴AB(ES-DM)=AC(DN-ER) ∵ DM+DN=ES+ER
∴ES-DM=DN-ER ∴ AB=AC
八、利用线段垂直平分线的性质定理来证明
例10、如图（10），AC=AD ，BC=BD ，E 是AB 上任意一点，求证 EC=ED
（如图）（10）
证明：∵AC=AD，BC=BD ∴AB是线段CD的垂直平分线
又E在线段AB上∴EC=ED
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