第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R ，故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ。

2、设4)(x x f =，试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，从而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=。

5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，i x1 2 4 6 7)(i x f 4 1 0 1 1求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商1 42 1-3 4 021- 656 121 41 607-7 1 061- 121- 1801 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R 。

第三章 函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

i x 1925 31 38 44i y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由()4.2718.973.730.493.320.19)(),(5111=++++===∑=i i i i y x f x d ϕ。

()5.3693218.1893402.105845470895.201876859448.97383.73310.49253.32190.19)(),(2222251222=++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i i i x y x f x d ϕ。

又()51)(),(5111==∑=i i i x x ϕϕ，()5327193614449616253614438312519)(),(2222251221=++++=++++==∑=i i i i x x x ϕϕ，()7277699374809620851369235213906251303214438312519)(),(4444451422=++++=++++==∑=i i i i x x x ϕϕ，故法方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.3693214.2717277699532753275b a ，解得⎩⎨⎧==047.0578.4b a 。

均方误差为[][]466675.159729.4729316.0555025.0732409.2477025.6)()()(5122512=++++=-+=-∑∑==i i i i i i x f bx a x f x S 。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t （秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s （米） 0 10 30 50 80 110 [解]设直线运动为二次多项式2)(cx bx a x f ++=，则由()280110805030100)(),(6111=+++++===∑=i i i i y x f x d ϕ。

()107855031215057951109.3803509.1309.01000)(),(6122=++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i ii i i x y x f x d ϕ， ()2.453327508.12164503.1081.851109.3803509.1309.01000)(),(22222261233=++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i i i x y x f x d ϕ。

又()61)(),(6111==∑=i i i x x ϕϕ，()()7.1459.339.19.00)(),()(),(611221=+++++===∑=i ii i i i x x x x x ϕϕϕϕ，()()()63.532521.15961.381.059.339.19.00)(),()(),()(),(222222612221331=++++=+++++====∑=i i i i i i i i x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ()()907.218125319.5927859.6729.059.339.19.00)(),()(),(3333336132332=++++=+++++===∑=i i i i i i x x x x x ϕϕϕϕ()0323.9516253441.231810321.136561.059.339.19.00)(),(44444461433=++++=+++++==∑=i i i i x x x ϕϕ，故法方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2.453310782800323.951907.21863.53907.21863.537.1463.537.146c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=2488.20814.115837.0c b a 。

故直线运动为22488.20814.115837.0)(x x x f ++-=。

补充题：1、现测得通过某电阻R 的电流I 及其两端的电压U 如下表：I 1I 2I 3I …… n I U 1U 2U 3U …… n U试用最小二乘原理确定电阻R 的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：IR U =。

应用最小二乘原理，求R 使得∑=-=ni i i U R I R 12)()(ϕ达到最小。

对)(R ϕ求导得到：∑=-='ni i i i I U R I R 1)(2)(ϕ。

令0)(='R ϕ，得到电阻R 为∑∑===ni ini ii IIU R 121。

2、对于某个长度测量了n 次，得到n 个近似值n x x x ,,,21 ，通常取平均值)(121n x x x nx +++=作为所求长度，请说明理由。

[解]令∑=-=ni i x x x 12)()(ϕ，求x 使得)(x ϕ达到最小。

对)(x ϕ求导得到：∑=-='ni i x x x 1)(2)(ϕ，令0)(='x ϕ，得到∑==ni i x n x 11，这说明取平均值)(121n x x x nx +++=在最小二乘意义下误差达到最小。