1.用Gauss 消去法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡-551631011411014211264321x x x x 解:第一步:交换第三行和第一行,得到如下矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡-56153101111402411621做运算()22121E E E →⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,()33161E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-,()()441E E E →+,得到增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡0249525213237414210001 第二步:再做运算()3322E E E →+,()44221E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-,得到如下矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-----⎢⎢⎢⎢⎣⎡94295292113377400210001第三步:做运算()4433713E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+,得到 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡21342951919210377400210001利用回代公式求得.790576.0,361257.0,863874.0,115183.11234=-==-=x x x x2、解 2.51 1.48 4.531.480.93 1.302.68 3.041.48⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.051.030.53⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 做两次换行()()()()↔↔3132;E E E E 得2.683.04 1.42.511.48 4.531.480.931.30⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.051.03⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 计算()()()()-+→-+→1221330.93657;0.55224;E E E E E E2.683.04 1.481.3672 5.916100.748810.48269⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.3227⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算()()-+→2330.54770;E E E2.683.04 1.4801.36725.9161003.7229⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.0235⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 换行和消去到此结束,经回代计算得到x =()1.440360, 1.577963,0.27494T--3.用Doolittle 三角分解方法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----551631011411014211264321x x x x解:首先对系数矩阵A 做分解LUA =解出:解b y L=,计算出Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=74213,521,1,6解y x U=,计算出()T x 115183.1,863874.0,361257.0,790576.0--=4.设][,ij n n a A R A =∈⨯,011≠a ,b Ax =经过高斯消去法一步后变为)2()2(b x A =,其中=)2(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡21110A a a T ,(2)A =()(2),2n ij i j a =为(n-1)⨯(n-1)矩阵.其元素为(2)ija =(1)ij a -(1)(1)11i j a a /(1)11a , ,i j =2,3, n. 证明:(1)若A 对称正定,则2A 是对称矩阵。
(2)若A 严格对角占优,则2A 也严格对角占优。
证明:(1)2A 中的元素满足),,3,2,(,1111n j i a a a a a j i ij ij=-=',又因为A 是对称阵,满足n j i a a ji ij ,,2,1,, ==,所以ji j i ji j i ij ij a a a a a a a a a a '=-=-='11111111,即2A 是对称矩阵。
而Gauss 消去法一步,A 由变换),,3,2(11n i r l r i i =-得到)2(A ,在变换下各阶顺序主式的值均不变,有0 0 )2()2(2)2(2)2(11)2()2(2)2(2)2(12112222ii i iiii i1ii a a a a a a a a a a a a==∆因为A 对称正定,0),,,3,2(011>=>∆a n i i ,所以2A 各阶顺序主子式也大于0,从而2A 正定。
(2)对n i ,,3,2 =有,(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+--≥'-'∑∑∑∑∑=≠=≠=≠=≠=nj ji n i j j ij ii n i j j n i j j j i ij i i ii nij j ijiia a a a a a a a aa a a a a a a 2111111122111111112)2()2(因为A 严格对角占优,ii a 和11a 分别大于第i 行和第1行非对角元素绝对值之和,所以上式大于0,故2A 也严格对角占优。
5.下列矩阵能否作Doolittle 分解,若能分解,那么分解是否唯一。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=764142321A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133122111B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=461561552621C 。
[解]因为A 的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,-10,所以A 不能直接分解为三角阵的乘积,但换行后可以。
因为B 的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,0,所以B 不能分解为三角阵的乘积。
因为C 的一、二、三阶顺序主子式分别为1,5,1,所以C 能够分解为三角阵的乘积,并且分解是唯一的。
6.用平方根法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103422484548416321x x x 解:TLL l l l l l l l l l l l l A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=33232231211133323122211100000022484548416⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=332021004L由b y L =得()T y 621-= 由y x L T=得Tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=24497.把例2.1.1的方程组(电路网络问题)写成一个三对角方程组,并用追赶法或LU 分解法求解。
解:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=-=--=+0275003205.5554323215454321i i i i i i i i i i i i i 转化为三对角方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=--=--=+0320027505.5555454343232121i i i i i i i i i i i i i 这样A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3-20001-1-10002-7-50001-1-100055,d =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00005.5,此时⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-==-=-=-=-=======0,1,2,1,53,1,7,1,52,1,5,1,0543215432154321c c c c c b b b b b a a a a a由追赶法公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-====--ni c l b u n i u a l b u i i i i i i i,...3,2,,...3,2,1111可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==-=-=-=-==2338,192,25,5123107,1923,219,2,5543254321l l l l u u u u u计算Ly=d ,由公式⎩⎨⎧=-==-n i y l d y d y i i i i ,...,3,2,111可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==2311195.525.51.15.554321y y y y y计算Ux=y ,由公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==+1,...,2,1),(11n n i x c y u x u y x i i i i i nn n 可得方程解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====6785.04215.0257.01542.01028.012345x x x x x8.解:因为A 是一个对称的正定的矩阵,将A 作Cholesky 分T LL A = 由矩阵乘法可以得到:11b l = ⑴n i m b l l a m i i i i i ,,2,,/211 =-==- ⑵由b Ly =得到()n i l y m d y l d y i i i i i ,,2,/,/1111 =-==-由y x L T = ,得到()1,,1,/,/11 -=-==++n i l y m y x l y x i i i i i n n n9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2021012a a A(1)若A 可以分解为T LL A =,试求a 的取值范围。
(2)若a=1,求矩阵L 。
解: (1) 若A 是对称的正定矩阵,则A 可以分解为T LL A = , 虽然A 对称,而1∆= 2>0,=∆2 3 >0, 3∆= 2(3-a)(3 +a) ,由△3 > 0,得3-< a<3所以,()3,3-∈a 时,A 为对称正定矩阵,从而A 可以分解为T LL (2)当a=1时,设A= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210221012 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231222111000l l l l l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3323221312110l l l l l l , 由此推出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/23/2002/32/1002L10、用追赶法解方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------000121001210012100124321x x x x解:设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432001000100011000100010001u u u u l l l A ⇒21=u , 112-=u l ⇒212-=l , 222=+-u l ⇒232=u ,123-=u l ⇒323-=l , ⇒=+-233u l 343=u ,⇒-=134u l 434-=l , ⇒=+-244u l 454=u 。
所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=45000134000123000121430001320001210001A 由b y L =得Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41,31,21,1由y x U =得Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=51,52,53,5411.已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1511,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----210121012,试求∞)(A cond 和2)(B cond解:6||||=∞A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1511611A ,1||||1=∞-A ,6||||||||)(1==∴∞-∞A A A cond ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=541464145B B T ,165216)6()5(3232)6()5(541464145||232-+-=-------=-----=-λλλλλλλλλλλB B E T 3431.0,4,6569.11321===⇒λλλ或由4142.34081393==)=(=得max2λB P B B B T =,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-432141211214321431B ,8284.52041189||||||||)(,7071.1577985)()(21221max 121=======----B B B cond B B P B λ。