选修2 - 2 导数及其应用
1.1.1平均变化率
（总第47导学案）
一、 【教学目标】
1 •感受平均变化率广泛存在于日常生活中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

2 •理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

二、 【教学重点、难点】
重点：平均变化率的数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义
三、 【教学过程】 （一）生活实例：
现有启东市某年3月和4月某天日最高气温记载.
观察：“3月18日到4月18日”与“ 4月18日到4月20日”的温度变化发现：后者短短两 天时
间温度相差14.80
C ，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” ，前者温差 15.10
C ，甚至超过了 14.80C ，而人们却不会发出上述感叹。

这是为什么呢？
因为前者变化缓慢，后者变化太快。

那么用怎样的数学模型来刻画变量变化的快、慢? 这就是本课学习的“平均变化率”。

）数学模型： 以3月18日作为第一天，用曲线图表示为:
T 「C )
C (34, 33.4)
30
/
20： _______ ___________ B _(32,_ 18.6)
1、 曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？。

2、 由点 B 上升到 C 点，考察 y c — y B 的大小为 __________________ ;同时考察 x c —X B 的大小
为 ____________________ 。

平均变化率为 ________________
3、 气温在区间［1 , 32］上的平均变化率 ，
与气温［32,34］上的平均变化率比较， A 、B 之间的温差与B 、C 之间的温差几乎相同，但
平均变化率相差很大，即平均变化率越大，曲线越陡峭。

10
A (1,
-f
3.5)
20
30 34 t(d)
4、一般地，函数f（x）在区间［X1 , X2］上的平均变化率为_______________________ 。

(三)典题探讨：
例1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用
5年时间挣到10万元，乙用5个月时
间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，
t s 后容器
甲中水的体积V(t) 5 2
0.1t
(单位：cm 3
)，
计算第一个10s 内V 的平均变化率。

注意：负号表示容器甲中的水在减少。

例3、已知函数f(x)
x 2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1)[1，3] ；
( 2)[1，2] ；
( 3)[1，1.1] ；
( 4)[1 ,1.001]。

作出图形，借助图像感知割线斜率 k 的变化，发现割线T 切线，斜率 k T 切线的斜率。

(2)求人离开路灯的第一个 10s 内身影的平均变化率。

(四)课堂小结:
1、一般地，求函数 f(x)在区间[X 1 , X 2]上的平均变化率的步骤:
变化率」
f(
X 2)f(X 1)。

x
X 2 X ]
2、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”
，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”
例4、如图，路灯高地面 8m , 一个身高为 (1)求身影的长度y 与人距路灯的距离 1.6m 的人以84m/min 的速度离开路灯。

x 之间的关系；
①求自变量的增量
x x 2 x 1 :②求函数的增量 y f(X 2) f (xj ；③求平均
乙
3、对于函数y f (x),当自变量x在X o处有改变量x时，函数值y相应地有改变量y ,
y f(X o X) f(X o) 则f(x)从x0到x0x的平均变化率有更一般的形式
课外作业
1
已知函数y ，当x 由1变为2时，函数值的增量 y 等于 _____________ 。

x
2
函数f （x ） x 1在区间1，m 上的平均变化率为 3，则m 的值为 ___________________
在函数f （x ） 2x
2
1的图像上取一点（1，1）及邻近一点（1
x,1 y ），则一丫
x
设函数y f （x ），当自变量由x o 变到x o
x 时，函数的改变量 y _______________
物体作直线运动的方程为 S 3t
2
5t （位移单位是 m ，时间单位是s ），则物体在2s 到
4s 时的平均速度是 __________________ ，2s 到3s 的平均速度是 __________________
① y f （x o x ） f （x o ）叫函数值的增量；
② 亠一定是个变量;
x
③ ― 丄^° ----
x ）
__叫做函数在 x 0, x 0
x 是的平均变化率；
x
x
④亠可以是一个常数。

x
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3个月与第6个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率。

已知函数 f （ x ）=2x+1，g （ x ）= — 2x ，分别计算在区间［-3，-1］，［0，5］上 f （ x ）及 g （ x ） 的平均变化率。

并指出 y=kx+b 在区间［m ， n ］上的平均变化率有什么特点？
甲、乙、丙三人炒股，甲一年前入市，赔了 10800元，乙半年前入市，赔了 6000元，丙 一个月前入市，赚了 800元，试比较这三人的月收益率。

、某人在推动一物体前进时所做的功（单位：
J ）关于时间（单位：
S ）的函数为
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8
9、
10
已知函数y f (x), x
x 0, x 0 x ，下列说法不正确的是
W=t3 6t216t求此人从1S末到3S末所做功的平均变化率。

11、证明函数f(x) 2x 1的图像上任意两点之间的平均变化率为一个常数，并求出这个常数。

12、求下列函数在给定区间上的平均变化率：
(1) f (x) 2x，x 2,4 ；(2) y sin x, x 0,
4
(3)S(t) 5t2，t t0，t0t ；(4) f (x) x22x 2，x 1,3 .
13、已知曲线f(x) x2，试计算：
3 5
(1) f (x)在1到2，1到，1到的平均变化率；
2 4
n 1
(2) f (x)在1到的平均变化率。

n
14、已知质点M按规律S 2t2 3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，
(2)当i t=2，s
t 0.01 时，求
(3)当i t=2，
s
t 0.01时，求
15、一边长为10cm的正方形薄铁片，加热后膨胀，当温度为t°C时，边长变为
10( 1+at) cm，a为常数，试求在时间t,t t内铁片面积的平均膨胀率。

(1)设从ts时刻起经过ts时，位移的增量记为s，求。